Question

Pelo Teorema de Lagrange: Seja f uma função definida num intervalo [a, b] e conhecida nos pontos (xi , fi ) i = 0,..., n. Existe um e um só polinômio Pn de grau menor ou igual a n de f nos pontos dados.


Sendo você um comprador de sucatas com habilidades matemáticas, encontra um professor de matemática metido a
esperto desejando vender alguns quilos de cobre, no entanto ele avisa que vende através de uma função que não será revelada e lhe dá alguns pares ordenados dessa função: (kg ; R$) = (xi ; fi) = (0 ; 2), (1 ; 0), (3 ; 5), (4 ; 0). O professor avisa-lhe que se conseguir informar o valor em reais de 2 kg de seu cobre poderia levar o cobre sem pagar nada. No entanto deveria resolver o problema pela determinação do polinômio interpolador de Lagrange de grau 3, P3(x), que passa pelos pontos dos pares ordenados informado pelo professor. Para te ajudar e te relembrar sobre Lagrange ele mostrou a figura abaixo: Como a situação na está fácil você resolve aceitar o desafio. Mostrando os passos utilizados para determinar qual seria o valor que o professor está pedindo em 2 kg do cobre dele, qual seria o resultado?

Answer 1

Queremos achar um polinômio de grau 3 que interpola $f$ (a função desconhecida) nos pontos $(x_{i},~f(x_{i}))$

O polinômio interpolador na forma de Lagrange é dado por

$P_{n}(x)=\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{3}L_{i}(x)f(x_{i})$

Onde $x_{0},~x_{1},...,~x_{3}$ são as abscissas dos pontos dados e

$L_{i}(x)=\dfrac{(x-x_{1})\cdot...\cdot(x-x_{i-1})\cdot(x-x_{i+1})\cdot...(x-x_{n})}{(x_{i}-x_{1})\cdot...\cdot(x_{i}-x_{i-1})\cdot(x_{i}-x_{i+1})\cdot...(x_{i}-x_{n})}\\\\\\=\displaystyle\prod\limits_{k\in[0,n]\backslash\{i\}}^{n}\dfrac{x-x_{k}}{x_{i}-x_{k}}$
______________________________

Temos os seguintes dados:

$x_{0}=0~;~f(x_{0})=2\\x_{1}=1~;~f(x_{1})=0\\x_{2}=3~;~f(x_{2})=5\\x_{3}=4~;~f(x_{4})=0$

Nesse caso, $f(x_{1})=f(x_{3})=0$, portanto só precisamos encontrar $L_{0}(x),~L_{2}(x)$

$L_{0}(x)=\dfrac{(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})(x_{0}-x_{3})}=\dfrac{(x-1)(x-3)(x-4)}{(0-1)(0-3)(0-4)}\\\\\\\therefore~~\boxed{\boxed{L_{0}(x)=-\dfrac{1}{12}(x-1)(x-3)(x-4)}}\\\\\\\\L_{2}(x)=\dfrac{(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{3})}{(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})(x_{2}-x_{3})}=\dfrac{(x-0)(x-1)(x-4)}{(3-0)(3-1)(3-4)}\\\\\\\therefore~~\boxed{\boxed{L_{2}(x)=-\dfrac{1}{6}x(x-1)(x-4)}}$

Portanto, o polinômio interpolador de grau 3 é dado por

$P_{3}(x)=f(x_{0})L_{0}(x)+f(x_{2})L_{2}(x)\\\\P_{3}(x)=2L_{0}(x)+5L_{2}(x)\\\\P_{3}(x)=-\dfrac{2}{12}(x-1)(x-3)(x-4)-\dfrac{5}{6}x(x-1)(x-4)\\\\\\\boxed{\boxed{P_{3}(x)=-\dfrac{1}{6}(x-1)(x-3)(x-4)-\dfrac{5}{6}x(x-1)(x-4)}}$

Com isso, aproximamos $f(2)$ por $P_{3}(2)$:

$f(2)\approx P_{3}(2)=-\dfrac{1}{6}(2-1)(2-3)(2-4)-\dfrac{5}{6}2(2-1)(2-4)\\\\\\f(2)\approx-\dfrac{1}{6}\cdot2-\dfrac{5}{6}(-4)\\\\\\f(2)\approx\dfrac{-2+4\cdot5}{6}\\\\\\f(2)\approx\dfrac{-2+20}{6}\\\\\\f(2)\approx\dfrac{18}{6}\\\\\\\boxed{\boxed{f(2)\approx3}}$

Logo, o preço de 2 kg de cobre é aproximadamente R$3,00, usando o polinômio interpolador (vale comentar que se $f$ é polinômio de grau 3, então $f(2)=P_{3}(2)=3$)