Question

Pelo Teorema de Fubini podemos inverter a ordem de integração dependendo do formato da região ou sólido de integração. No caso de integral dupla, chamamos de integrais do tipo 1 ou tipo 2. O importante é que a última integral tenha em seu dominio de integração apenas constantes, ou seja, seja feita num intervalo como as integrais simples. Utilizando o Teorema de Fubini, calcule a área da região apresentada na figura a seguir. Justifique cada etapa da sua resolução.​

Answer 1

Utilizando-se do teorema de Fubini e escolhendo a melhor ordem de integração, é possível concluir que a área da região é A = 10 u.a..

 

Teorema de Fubini para integrais duplas

Seja D uma região limitada entre funções no plano ℝ², então a integral dupla de uma função de duas variáveis sobre tal região pode ser calculada via

$\large\begin{array}{lr}\displaystyle \iint\limits_{D}f(x,y)\,dA = \int\limits_{a}^{b}\int\limits_{q(y)}^{g(y)} f(x,y)\,dxdy = \int\limits_{c}^{d}\int\limits_{h(x)}^{p(x)}f(x,y)\,dydx \end{array}$

 

Em outras palavras, a integral externa deve sempre ser escrita com o intervalo de integração constante e a integral interna deve variar entre funções dependentes de x ou y.

 

Escolha da ordem:

• Caso seja dxdy, a integral interna irá variar entre funções de y;
• Caso seja dydx, a integral interna irá variar entre funções de x.

 

Isso ocorre pois a integral irá retornar um número real como resposta.

 

Definição: A área de uma região é numericamente igual ao volume abaixo da superfície plana gerada pela função unitária f(x, y) = 1.

$\large\begin{array}{lr}\displaystyle A(D) = \iint\limits_{D} 1\,dA \end{array}$

 

Para resolver a questão proposta, é necessário que uma boa ordem de integração seja escolhida. Dessa forma, observe que não será bom a variável x estar em extremos constantes. Por isso, faz sentido escolher dxdy, com y variando de 0 até 4 e dado um y genérico dentro desse intervalo, x irá variar entre a reta r e a reta s ( veja a imagem ).

 

Devemos encontrar as duas retas, porém isso é fácil, pois dados dois pontos, por eles passará uma única reta. Então, via determinante e desenvolvimento de Laplace, obtém-se

$\large\begin{array}{lr}reta~~r: \\ \begin{vmatrix} x & y & 1\\-3&0&1\\4&4&1 \end{vmatrix} = 0 \\\\ x\cdot \begin{vmatrix} 0&1\\4&1 \end{vmatrix} - y\cdot \begin{vmatrix} -3&1\\4&1 \end{vmatrix} + 1\cdot \begin{vmatrix} -3&0\\4&4 \end{vmatrix} \\\\ x(-4)-y(-3-4)+(-12) = 0 \\\\ r:~ x = \dfrac{7}{4}y - 3 \end{array}$

 

Para a reta s, utilizando da mesma técnica, obtém-se

$\large\begin{array}{lr}reta~~s: \\ \begin{vmatrix} x & y & 1\\2&0&1\\4&4&1 \end{vmatrix} = 0 \\\\ x\cdot \begin{vmatrix} 0&1\\4&1 \end{vmatrix} - y\cdot \begin{vmatrix} 2&1\\4&1 \end{vmatrix} + 1\cdot \begin{vmatrix} 2&0\\4&4 \end{vmatrix} \\\\ x(-4)-y(2-4)+8 = 0\\\\ s:~x = \dfrac{1}{2}y + 2 \end{array}$

 

O cálculo da área da região é

$\large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\displaystyle \int\limits_{0}^{4}\int\limits_{\tfrac{7}{4}y -3}^{\tfrac{1}{2}y + 2} 1\,dxdy &=\displaystyle \int\limits_{0}^{4} x \bigg| _{\tfrac{7}{4}y -3}^{\tfrac{1}{2}y + 2}\,dy \\\\&=\displaystyle \int\limits_{0}^{4} \left[\dfrac{y}{2}+2\right] - \left[ \dfrac{7y}{4} - 3\right]\,dy \\\\&=\displaystyle \left.\left[ \dfrac{y^2}{4} + 2y - \dfrac{7y^2}{8} + 3y \right]\right|_0^4 \\\\&= \dfrac{4^2}{4} + 2\cdot4 - \dfrac{7\cdot4^2}{8} + 3\cdot4 \\\\ &= 4 + 8 - 14 + 12 \end{aligned}\\\\\therefore\:A = \displaystyle \int\limits_{0}^{4}\int\limits_{\tfrac{4}{7}x + \tfrac{12}{7}}^{2x-4} 1\,dxdy = 10\,u.a. \end{array}$

 

Portanto, a área da região é A = 10 u.a..

 

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