Question

Pelo Teorema de Fubini podemos inverter a ordem de integração dependendo do formato da região ou sólido de integração. No caso de integral dupla, chamamos de integrais do tipo 1 ou tipo 2. O importante é que a última integral tenha em seu domínio de integração apenas constantes, ou seja, seja feita num intervalo como as integrais simples.Utilizando o teorema de Fubini, calcule a área da região apresentada na figura a seguir. Justifique cada etapa da sua resolução.

Answer 1

Utilizando o Teorema de Fubini para organizar a integral dupla, concluímos que, a área da região dada é igual a 10.

Teorema de Fubini

Utilizando o Teorema de Fubini podemos organizar as integrais conforme as regiões consideradas. Para determinar a integral dupla vamos traçar a reta x = 1 e dividir a região em duas. Vamos utilizar as seguintes informações para determinar os limites de integração:

• Na primeira região os valores de x pertencem ao intervalo [-4, 1] e os valores de y estão entre as retas $y = 0$ e $y = \dfrac{4}{7} + \dfrac{16}{7} x$
• Na segunda região os valores de x estão no intervalo [1, 3] e os valores de y estão entre as retas $y = 2x - 2$ e $y = \dfrac{4}{7} + \dfrac{16}{7} x$

Esses serão os limites de integração utilizados e como separamos a região em duas, teremos a soma de duas integrais duplas.

Integral dupla

A área da região apresentada na imagem dada na questão pode ser calculada utilizando a integral dupla:

$\int_{-4}^1 \int_0^{\frac{4}{7} + \frac{16}{7} x} dy dx + \int_{1}^3 \int_{2x-2}^{\frac{4}{7} + \frac{16}{7} x} dy dx = \int_{-4}^1 \dfrac{4x + 16}{7} dx + \int_{1}^3 \dfrac{-10x+ 16}{7} + 2 dx = \dfrac{50}{7} + \dfrac{20}{7} = 10$

Para mais informações sobre integral dupla, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/51033932

#SPJ1