Question

Pelas somas parciais percebe-se que uma série harmônica (como o somatório de n=1 a infinito de 1/n) é divergente.
Mas o teste da divergência diz que se o lim do termo geral da sequência é diferente de zero, ou nao existe, então a sequencia diverge. Se eu aplicar o teste da divergência na sequência exemplificada, o lim de 1/n não deveria tender a zero, e por causa disso a sequência ser convergente?

Answer 1

Não, isso é um erro bastante comum!

Se tivermos uma série convergente, então temos, com certeza, que o termo geral dela vai pra zero, ou seja

Se $\sum a_{n}$ é convergente, então $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0$, mas a volta não é necessariamente verdadeira!

Se tivermos $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0$, isso não implica que a série

$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}$ converge

Exemplo:

$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}sen\left(\frac{1}{n}\right)~\'e~divergente,~mas~\lim\limits_{n\rightarrow\infty}sen\left(\dfrac{1}{n}\right)=0$