Pelas extremidades A e B de um segmento AB, trace as
perpendiculares e sobre elas tome os segmentos AC = 9 cm e BD = 6 cm. Em AB
toma-se um ponto E, tal que os ângulos AÊC e BÊD sejam congruentes. Calcule os
comprimentos dos segmentos AE e BE, sabendo-se que AB = 20 cm.
Soluções para a tarefa
Resposta:
[ AE ] = 12 cm
[ BE ] = 8 cm
Explicação passo-a-passo:
Vou fazer um esboço da figura com letras nos vértices para melhor se perceber.
Na resolução vou usar um Caso de Semelhança de Triângulos.
C
|º D
| º º|
9 | º º | 6
| º º |
| º º |
A | ºººººººººººººº*ºººººººººº|ºººººººººººººººººººº| B
x E 20 - x
Mais dados :
→ ∡ CAE = ∡ DBE = 90º porque [ AC ] E [ BD ] são perpendiculares a
[ A B ] ( pelo enunciado)
→ ∡ AEC = ∡ BED , pelo enunciado
→ [ AB ] = 20 cm
Pedido: Quais os comprimentos de [ AE ] e [ BE ] ?
Os triângulos CAE e DBE são semelhantes pelo Critério AA, que prova
que "Dois triângulos são semelhantes se tiverem dois ângulos internos, respetivamente iguais."
E assim é porque ∡ CAE = ∡ DBE ( ângulos retos; logo iguais)
e ∡ AEC = ∡ BED , pelo enunciado.
Vamos chamar " x " ao segmento de reta [ AE ] e " 20 - x " ao segmento
de reta [ BE ].
Podemos estabelecer razões entre lados correspondentes dos dois triângulos.
Assim temos a proporção:
" x " está para " 20 - x " assim como 9 está para 6.
Numa proporção o produtos dos extremos é igual ao produto dos meios.
" x " e 6 são os extremos ; (20 - x ) e 9 sãos meios.
Este texto em matemática fica:
x / ( 20 - x ) = 9 / 6
Multiplicando cruzado fica :
6 * x = 9 * ( 20- x )
⇔ 6 x = 180 - 9x
⇔ 6x + 9 x = 180
⇔ 15 x = 180 dividindo tudo por 15
⇔ ( 15 x ) / 15 = 180 / 15
⇔ x = 12
Logo [ AE ] = x = 12 cm
[ BE ] = 20 - 12 = 8 cm
Sinais : ( * ) multiplicar ( / ) dividir ( ⇔ ) equivalente a
Espero ter ajudado bem.
*****************************
Se tiver alguma dúvida me contacte através dos Comentários da pergunta.
Bom estudo e uma boa semana para si.