Question

Pela ruptura de um tanque, uma mancha de óleo espalha-se em forma de um círculo cuja área cresce a uma taxa constante de 4mi2/h. Determine com que rapidez está variando o raio da mancha crescente quando o raio for de 2mi.

Answer 1

O raio da mancha de óleo aumenta numa taxa de 0,3183 mi/h.

Vamos aplicar os conceitos de Cálculo Diferencial e Integral na solução dessa questão.

Por se tratar de taxas de variação, temos um caso clássico de derivadas. A taxa com que a área cresce é:

$\frac{dA(t)}{dt} = 4 mi^2/h$

Como a mancha de óleo é um círculo, sua área pode ser encontrada pela fórmula:

$A(t) = \pi R(t)^2$

, sendo R o raio dela.

Importante ressaltar que tanto a área quanto o raio estão aumentando com o passar do tempo.

Substituindo esse valor da área na nossa taxa inicial, teremos:

$\frac{d}{dt} [\pi R^2(t)] = 4\\\\\pi \frac{dR^2(t)}{dt} = 4\\\\\pi *[2*R_o*\frac{dR(t)}{dt} ] = 4\\\\\frac{dR(t)}{dt} = \frac{4}{2\pi R_o}$

Para um raio inicial de 2mi, ficaremos com:

$\frac{dR(t)}{dt} = \frac{4}{2\pi *2} = (1/\pi) mi/h = 0,3183 mi/h$

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