Question

Pela definição de logaritmo estudada, determine o valor de:

a)
$log_{81}(3)$

b)
$log_{0.001}(1000)$

c)
$log(4) \sqrt{128}$

d )
$log( \sqrt{5} ) 1| 25$
​

Answer 1

Resposta:

a) x = 1/4      b) x = - 1     c ) x = 7/4 = 1,75      d ) x = - 4

Explicação passo a passo:    

Observação 1 → Definição de logaritmo

Pela definição de logaritmo temos:

$log_{b}(a)=x..........equivalente.........a = b^{x}$

Lê-se :    

Logaritmo de "a" na base "b" é igual a "x"

Equivalente

"a" = "b" elevado a "x"    

Ao resolver estes logaritmos vamos obter uma equação em que em cada  

membro vai haver uma potência, com bases iguais.

Essas duas potências , tendo a base igual, serão iguais quando os  

expoentes forem iguais , entre si.

Exemplo →

$7=7^{x}$

equivalente a  

$7^1=7^{x}$

equivalente x = 1

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a)

$log_{81}(3)=x$

$3=81^x$

mas 81 = 9 * 9 = 3 * 3 * 3 * 3 =

Observação 2 → Potência de potência

Quando temos uma potência que é base de outra potência, mantemos a

base e multiplicamos os expoentes.

Exemplo:

$(3^{4} )^{x}=3^{4*x} =3^{4x}$

$3=(3^{4} )^{x}$

$3^1=3^{4x}$

As bases das potências são iguais.

Então os expoentes também têm de ser iguais entre eles:

1 = 4x

1/4 = (4x)/4

x = 1/4

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b)

$log_{0,001} (1000)$

$1000=(0,001)^x$

Colocar as potências com base 10

Cálculos auxiliares

1000 = 10³

$0,001=\frac{1}{1000} =\frac{1}{10^3} =(\frac{1}{10})^3$

A potência do 1º membro já está com base 10 ;  é o 10³

A potência do 2º membro , para ficar com base 10, vai-se passar o

expoente 3 para "- 3 "

Observação → Mudança de sinal no expoente de uma potência

Inverte-se a base e muda-se o sinal do expoente.

Exemplo →

$(\frac{1}{10}) ^{3} =(\frac{10}{1}) ^{-3} =10^{-3}$

Fim de cálculos auxiliares.

$1000=(0,001)^x$

$10^3=(10^{-3} )^x$

$10^3=10^{-3x}$

As bases das potências são iguais entre si, os expoentes também têm de

ser iguais entre si .

- 3x = 3

x = 3/(- 3 )

x = - 1

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c)

$log_{4}(\sqrt{128})=x$                                  

$\sqrt{128} =4^x$

$\sqrt{128} =(2^2)^{x}$

$\sqrt{2^7} =2^{2x}$

Observação 3 → Passagem de radical a potência de expoente fracionário

Exemplo:

$\sqrt[2]{2^7} =2^{\frac{7}{2} }$

A base do radicando mantém-se , o 2.

Fica elevada a uma potência onde o numerador é o expoente do

radicando, aqui é 7 , e o denominador é o índice do radical, aqui é 2

Continuando a resolução

$2^{\frac{7}{2} } =2^{2x}$

As bases da potências são iguais, logo para esta igualdade ser verdadeira

é necessário que os expoentes sejam iguais, entre si.

$\frac{7}{2} =2x$

divido ambos os membros por 2

$\frac{7}{2}:2=(2x):2$

$\frac{7}{2}:\frac{2}{1} =x$

$\frac{7}{2}*\frac{1}{2} =x$

x = 7 : 4 = 1,75

128 | 2           $128=2^7$    foi feita a decomposição, de 128 , em fatores

 64 | 2

  32 | 2

   16 | 2

     8 | 2

     4 | 2

     2 | 2

      1

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d)

$log_{\sqrt{5} } (\frac{1}{25})=x$

$\frac{1}{25}=(\sqrt{5} )^{x}$

Cálculos auxiliares

$\frac{1}{25} =(\frac{1}{25})^1=(\frac{25}{1} )^{-1} =25^{-1} =(5^2)^{-1} =5^{-2}$

$\sqrt{5} =\sqrt[2]{5^1} =5^{\frac{1}{2} }$

Fim de cálculos auxiliares

continuando a resolução:

$5^{-2} = (5^{\frac{1}{2} } )^{x}$

$5^{-2} = 5^{\frac{1}{2}*x }$

As bases das potências já são iguais, então os expoentes terão que ser

iguais entre si.

$\frac{1}{2} *x=-2$

$\frac{1}{2} *\frac{x}{1} =-2$

$\frac{1*x}{2} =-2$

 $\frac{x}{2} =-2$

multiplicando todos os termos por 2

$2*\frac{x}{2} =-2*2$

x = - 4

Bons estudos.

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( * ) multiplicação     ( / ) e ( : ) divisão       ( ........ ) estes pontos só servem para

separar palavras.