Question

Pedro possui uma lista com
41
numeros. Primeiro, ele soma
1
a cada um dos numeros obtendo uma segunda lista. Em seguida, ele soma novamente
1
a cada numero dessa segunda lista obtendo a terceira lista. Sabe-se que a soma dos quadrados dos numeros da primeira lista e igual a soma dos quadrados dos numeros da segunda lista. Determine a diferenca entre a soma dos quadrados dos numeros da terceira lista e a soma dos quadrados dos numeros da primeira lista.

Answer 1

Considere que os números abaixo são os 41 números primos que Pedro possui na primeira lista:

x₁, x₂, x₃, ..., x₄₁

Agora, ele soma 1 a cada um dos números acima. Assim, temos a segunda lista:

x₁ + 1, x₂ + 1, x₃ + 1, ..., x₄₁ + 1

Agora, ele soma novamente 1 a cada um dos números da segunda lista. Assim, temos a terceira lista:

x₁ + 2, x₂ + 2, x₃ + 2, ..., x₄₁ + 2.

De acordo com o enunciado, a soma dos quadrados dos números da primeira lista é igual a soma dos quadrados dos números da segunda lista, ou seja,

x₁² + x₂² + x₃² + ... + x₄₁² = (x₁ + 1)² + (x₂ + 1)² + (x₃ + 1)² + ... + (x₄₁ + 1)²

Desenvolvendo:

x₁² + x₂² + x₃² + ... + x₄₁² = x₁² + 2x₁ + 1 + x₂² + 2x₂ + 1 + ... + x₄₁² + 2x₄₁ + 1

2x₁ + 1 + 2x₂ + 1 + ... + 2x₄₁ + 1 = 0

2(x₁ + x₂ + ... + x₄₁) + 41 = 0

x₁ + x₂ + ... + x₄₁ = -41/2.

Queremos determinar a diferença entre a soma dos quadrados dos números da terceira lista e a soma dos quadrados dos números da primeira lista, ou seja,

(x₁ + 2)² + (x₂ + 2)² + ... + (x₄₁ + 2)² - (x₁² + x₂² + ... + x₄₁²) =

x₁² + 4x₁ + 4 + x₂² + 4x₂ + 4 + ... + x₄₁² + 4x₄₁ + 4 - x₁² - x₂² - ... - x₄₁² =

4x₁ + 4 + 4x₂ + 4 + ... + 4x₄₁ + 4 =

4(x₁ + x₂ + ... + x₄₁) + 164 =

Como x₁ + x₂ + ... + x₄₁ = -41/2, então:

4.(-41/2) + 164 =

-82 + 164 =

82.

Portanto, a diferença é igual a 82.