Question

Pedro marcou os pontos (1, 1) e (7, 4) no plano caretsiano e uniu-os com uma linha reta. Em seguida, marcou os pontos (0, 4) e (6, 0) e também os uniu com uma linha reta. As duas retas desenhadas por Pedro encontraram-se no ponto de coordenadas: *

150 pontos

Imagem sem legenda

(5, 3)

(3, 2)

(4, 2)

(2, 3)



URGENTEEEE!!!!!!

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{(3,~2)}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos encontrar a equação dessas duas retas.

A primeira reta une o pontos $(1, ~1 )$ e $(7,~4)$.

Para encontrarmos esta reta, utilizaremos matrizes.

Sabemos que pela condição de alinhamento de três pontos, o determinante da matriz formada pelos dois pontos dados $(x_1,~y_1)$ e $(x_2,~y_2)$ e um ponto genérico $(x,~y)$ deve ser igual a zero. Isto é:

$\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x&y&1\\\end{vmatrix}=0$

Substituindo os pontos que temos, ficamos com o seguinte determinante

$\begin{vmatrix}1&1&1\\7&4&1\\x&y&1\\\end{vmatrix}=0$

Para resolver este determinante, utilizaremos a Regra de Sarrus. Ela consiste em replicarmos as duas primeiras colunas à direita do determinante e calcular a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais que partem da esquerda para a direita e a soma dos produtos dos elementos das diagonais que partem da direita para a esquerda. Ou seja:

$\left|\begin{matrix}1 & 1 &1 \\ 7&4 &1 \\ x& y & 1\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}1 &1 \\ 7 & 4\\ x &y \end{matrix}\right.=0$

Aplique a regra

$1\cdot4\cdot1 + 1\cdot1\cdot x + 1\cdot7\cdot y -(1\cdot7\cdot1+1\cdot1\cdot y + 1\cdot4\cdot x)=0$

Multiplique os valores e efetue a regra dos sinais para retirar os termos de dentro dos parênteses

$4+x+7y-(7+y+4x)=0\\\\\ 4+x+7y-7-y-4x=0$

Some os termos semelhantes

$-3x+6y-3=0$

Isole $y$ para encontrarmos a equação reduzida

$6y=3x+3$

Divida ambos os lados da equação por 6

$y=\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2}$.

Para encontrarmos a equação da segunda reta, repetiremos os mesmos passos, alterando somente os pontos que utilizamos na matriz.

Esta segunda reta une os pontos $(0,~4)$ e $(6,~0)$, logo

$\begin{vmatrix}0&4&1\\6&0&1\\x&y&1\\\end{vmatrix}=0$

Aplique novamente a regra de Sarrus

$\left|\begin{matrix}0& 4&1 \\ 6&0 &1 \\ x& y & 1\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}0 &4 \\ 6& 0\\ x &y \end{matrix}\right.=0\\\\\\ 0\cdot0\cdot1 + 4\cdot1\cdot x+1\cdot6\cdot y -(4\cdot6\cdot1+0\cdot1\cdot y+1\cdot0\cdot x)=0$

Multiplique os valores e aplique a regra de sinais para retirar os termos de dentro dos parênteses

$4x+6y-24=0$

Isole $y$ para encontrar a equação reduzida

$6y=24-4x$

Divida ambos os lados da equação por 6

$y=4-\dfrac{2x}{3}$

Por fim, para encontrarmos os ponto de encontro dessas retas, devemos igualar suas equações.

Logo, fazemos

$\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2}=4-\dfrac{2x}{3}$

Multiplique ambos os lados da equação por 6, pois ele é o denominador comum

$3x+3=24-4x$

Isole $x$ na equação

$3x+4x=24-3$

Some os termos semelhantes

$7x=21$

Divida ambos os lados da equação por 7

$x=3$

Então, encontramos a abcissa do ponto de interseção. Devemos substituir este ponto em uma das equações reduzidas que encontramos para encontrar a ordenada.

$y=4-\dfrac{2x}{3}$

Substitua o valor de $x$

$y=4-\dfrac{2\cdot3}{3}$

Simplifique a fração

$y=4-2$

Some os valores

$y=2$

Forme o par ordenado

$(3,~2)$

Logo, este é o ponto de encontro das duas retas.