Question

Pedro estuda 4 horas por dia e Maria estuda 6 horas por dia. A quantia de 200 reais será dividida entre eles em partes diretamente proporcionais à quantidade de horas que estudam por dia, isto é, 4 e 6. Podemos dizer que Pedro receberá:

a) 100 reais b) 60 reais c) 80 reais d) 75 reais

Answer 1

Podemos dizer que Pedro receberá: c) 80 reais.

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Considerações pré-resolução

Duas grandezas são diretamente proporcionais assim que, na mesma proporção, uma aumenta e a outra também aumenta ou assim que, na mesma proporção, uma diminui e a outra também diminui. Posto isto, sejam $\sf a_1$, $\sf a_2$, ..., $\sf a_n$ os valores de uma grandeza A, diretamente proporcionais aos valores $\sf b_1$, $\sf b_2$, ..., $\sf b_n$ de uma outra grandeza B, tem-se

                                          $\displaystyle\Large\sf \dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=...=\dfrac{a_n}{b_n}=k$

, denotado por k a constante de proporcionalidade.

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Resolução

Deseja-se repartir R$ 200,00 entre Pedro, que estuda 4h por dia, e Maria, que estuda 6h por dia, em partes diretamente proporcionais ao tempo que eles estudam por dia. Vamos denotar por p e m, respectivamente, a quantia que será dada a Pedro e Maria. Sendo (p, m) e (4, 6) diretamente proporcionais, temos que

                                                    $\displaystyle\Large\sf \dfrac{p}{4}=\dfrac{m}{6}=k.$

Onde desta expressão, temos que

                       $\displaystyle\Large\sf \dfrac{p}{4}=k,~\dfrac{m}{6}=k\implies p=4\cdot k,~m=6\cdot k$

, por onde obtemos, em função de k, as quantias que Pedro e Maria receberão. Como a soma destes dois valores dá os R$ 200,00, segue que

                                           $\displaystyle\Large\begin{gathered}\sf p+m=200\\\\\sf 4\cdot k+6\cdot k=200\\\\\sf 10\cdot k=200\\\\\sf k=\dfrac{200}{10}\\\\\sf \,k=20.\end{gathered}$

Como o exercício quer saber a quantia de Pedro, então

                                      $\displaystyle\Large\begin{gathered}\sf p=4\cdot k=4\cdot20=80.\end{gathered}$

Ou seja, Pedro receberá R$ 80,00. Como é diretamente proporcional, se Maria estuda por mais tempo ela receberá uma quantia maior, que seria os R$ 120,00 que faltam para completar R$ 200,00.

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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.