Question

Pedro escreve em uma folha em branco cada um dos números de 1 a 6 apenas uma vez. Em seguida, escreve mais P números 5 e Q números 7. A média de todos os números escritos por Pedro nessa folha é igual a 5,3. Qual é o menor valor possível de Q?

Answer 1

Sendo $M$ a média aritmética dos números, temos que:

$M = \cfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5P + 7Q}{6 + P + Q} = 5,3\\\\21 + 5P + 7Q = 5,3(6+P+Q)\\21 + 5P + 7Q = 31,8 + 5,3P + 5,3Q\\-0,3P + 1,7Q = 10,8\\10(-0,3P + 1,7Q) = 10 \cdot 10,8\\-3P + 17Q = 108\\17Q = 108 + 3P\\17Q = 3(36 + P)\\\\Q = \cfrac{3(36 + P)}{17}$

Como 17 não divide 3, e como $Q$ é inteiro, 17 deve dividir $36 + P$. Para isso, o valor mínimo de $P$ é $P = 15$:

$Q = \cfrac{3(36+15)}{17}\\\\Q = \cfrac{3 \cdot 51}{17}\\\\Q = 3 \cdot 3\\Q = 9$

O menor valor possível de Q é 9