Question

Pedro é uma criança que guarda em um cofre todas as moedas que encontra pela casa. Um certo dia ele resolveu tirar aleatoriamente 18 moedas do cofre. Considerando que no cofre só tinha moedas de 25 centavos, 50 centavos e 1 real, de quantas formas Pedro pode retirar essas moedas sabendo que ele tirou moedas dos três tipos? a) 120 b) 136 c) 144 d) 180 e) 198

Answer 1

Considere que x é a quantidade de moedas de 25, y é a quantidade de moedas de 50 e z é a quantidade de moedas de 1 real.

Então, como Pedro retirou 18 moedas do cofre, temos que:

x + y + z = 18

Para calcular quantas soluções inteiras positivas tem a equação acima, usamos a fórmula:

$Y=\frac{(n+b-1)!}{b!(n-1)!}$

sendo n a quantidade de incógnitas e b o resultado da equação.

Assim,

$Y=\frac{(3+18-1)!}{18!(3-1)!}$

Y = 190

Portanto, existem 190 soluções positivas inteiras.

Porém, de acordo com o enunciado, Pedro retirou os três tipos de moedas.

A seguir temos os casos em que aparecem, uma quantidade nula de moedas porém satisfazem a equação:

(18,0,0), (17,1,0), (16,2,0), (15,3,0), (14,4,0), (13,5,0), (12,6,0), (11,7,0), (10,8,0), (9,9,0).

Perceba que os números podem se permutar.

Então, existem:

3!/2!.2 + 3!.8 = 6 + 48 = 54 soluções que contém 0.

Portanto, Pedro pode retirar as moedas de 190 - 54 = 136 formas distintas.

Alternativa correta: letra b).