Question

Pedro e José Carlos estão em um descampado plano, a 250m de distância um do outro. Alice, Maria, Cláudio e Alfredo também estão no descampado, posicionados em linha reta numa perpendicular à reta que une as posições de Pedro e José Carlos, como mostra a figura: O ponto de interseção O está a 185m de Pedro e a 65m de José Carlos. Alice está a 100m de O, Maria está a 82m de O, Cláudio a 75m de O e Alfredo a 70m de O. Pedro sopra um apito que pode ser ouvido num raio de 200m. José Carlos também sopra um apito que pode ser ouvido a 100m de raio. O número de pessoas, entre as sete, que ouvem os dois apitos é igual a:

Answer 1

Apenas Cláudio e Alfredo devem escutar os dois apitos.

Esta questão está relacionada com trigonometria. Note que a perpendicularidade entre as retas permite formar um triângulo retângulo entre Pedro e José com os outros amigos. Dessa forma, o raio será equivalente a hipotenusa do triângulo.

Inicialmente, vamos começar com Pedro, cujo apito pode ser ouvido até 200 metros. A base de seu triângulo possui 185 metros (distância até o ponto O) e a altura é variável conforme cada amigo. Desse modo, vamos calcular a hipotenusa para cada caso:

$Alice:185^2+100^2=x^2\rightarrow x^2=44225\rightarrow x\approx 210,3 \ m\\ \\ Maria:185^2+82^2=x^2\rightarrow x^2=40949\rightarrow x\approx 202,4 \ m\\ \\ Claudio:185^2+75^2=x^2\rightarrow x^2=39850\rightarrow x\approx 199,6 \ m\\ \\ Alfredo:185^2+70^2=x^2\rightarrow x^2=39125\rightarrow x\approx 197,8 \ m$

Note que apenas Cláudio e Alfredo ouviram o apito, pois a distância é menor que 200 metros. De maneira análoga, vamos fazer os mesmos cálculos para o apito de José Carlos, com a base de 65 metros e apito com raio de 100 metros.

$Alice:65^2+100^2=x^2\rightarrow x^2=14225\rightarrow x\approx 119,3 \ m\\ \\ Maria:65^2+82^2=x^2\rightarrow x^2=10949\rightarrow x\approx 104,6 \ m\\ \\ Claudio:65^2+75^2=x^2\rightarrow x^2=9850\rightarrow x\approx 99,2 \ m\\ \\ Alfredo:65^2+70^2=x^2\rightarrow x^2=9125\rightarrow x\approx 95,5 \ m$