Question

peço ajuda para calcular essa equação exponencial?
${2}^{2x} + 7. {2}^{x} - 8 = 0$
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Answer 1

Resposta: x = 0

Explicação passo a passo:

2^(2x) + 7.2^(x) - 8 = 0 (estou usando o " ^ " para indicar que o que segue é um expoente)

Substitua 2^(x) por y. Logo 2^(2x) = 2^(x).2^(x) = y.y = y²

Voltando a equação com estas substituições,

y²  + 7y - 8 = 0 {equação do 2º grau; use Bhaskara ou soma e produto}

As raízes são:  y' = - 8 e y" = +1

Como y = 2^(x),

Para y' = - 8,

- 8 = 2^(x) {descarte}

Para y " = 1

1 = 2^(x) => 2º = 2^(x)

Mesma base é só igualar os expoentes

x = 0

Answer 2

Resposta :

S = { 0 }          ( como comprova gráfico em anexo )

Explicação passo a passo:

Observação 1  → Potência de potência

Mantém-se a base, multiplicam-se os expoentes

Exemplo

$(3^{2}) ^{5} =3^{2*5}$

Mas é importante que tenha presente que:

$3^{2*5} =(3^{2}) ^{5}$

ou

$3^{2*5} =(3^{5}) ^{2}$

Conforme seja mais útil para resolução do exercício.

Observação 2  → Potência de expoente zero

Qualquer valor, exceto o zero, elevado a zero tem como resultado o valor 1

Exemplos

$2^0 = 1$        ;       $(\dfrac{3}{4})^0 = 1$      ;    $( - 5)^{0} =1$

Resolução :

Antes de entrar em cálculos dentro das propriedades das Equações

Exponencias, temos logo de imediato uma solução:

x = 0

Verifiquemos

$2^{2*0} +7*2^{0} -8=0$

1 + 7 * 1 - 8 = 0

8 - 8 = 0

0 = 0       verdadeiro e verifica que x = 0 é uma solução

Vamos averiguar se existe mais alguma

$2^{2x} +7*2^{x} -8=0$

$(2^{x})^{2} +7*2^{x} -8=0$    ( de acordo com Observação 1 )

Assim temos uma equação do 2º grau, onde a incógnita é  " $2^{x}$ "

Por maior facilidade nos cálculos faz-se uma substituição de variável.

$2^{x}=t$

Ficando

t² + 7 t - 8 = 0

Fórmula de Bhaskara

t = (- b ± √Δ) /2a       com Δ = b² - 4*a*c   e   a ≠ 0

a =  1

b =  7

c = - 8

Δ = 7² - 4 * 1 * ( - 8 ) = 49 + 32 = 81

√Δ = √81 = 9

t1 = ( - 7 + 9 ) / (2*1)

t1 = 2 / 2

t1 = 1

t2 = ( - 7 - 9 ) / (2*1)

t2 = - 16 /2

t2 = - 8

Temos de voltar à variável inicial

Para t = 1

$2^{x} =1$

que posso escrever

$2^{x} =2^0$

x = 0     esta solução , já tinha sido encontrada

Para t = - 8

$2^{x} =-8$

A função exponencial nunca toma valores negativos em seu contradomínio.

Contradomínio = ( 0 ; + ∞ )

Rejeitar t = - 8

O conjunto solução é:

S = { 0 }

( como comprova gráfico em anexo )

Bons estudos.

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( * ) multiplicação        ( / )  dividir         ( ∞ ) infinito          ( ∨ ) ou  

( t1 ; t2 ) nomes atribuídos às raízes da equação do 2º grau.    

Nota → Em minhas resoluções de tarefas eu coloco muita informação, em

termos de regras.

E, detalhando os passos que são dados, de modo a que o usuário possa

perceber o que está a ser feito e utilizá-lo em futuros exercícios.