Question

peço ajuda com essas equações e inequações exponenciais ​

Answer 1

2. Começamos com a seguinte equação:

$2^x\cdot 4^{x+1}\cdot 8^{x+2}=16^{x+3}$

Deixamos todas as potências na base 2:

$2^x\cdot (2^2)^{x+1}\cdot (2^3)^{x+2}=(2^4)^{x+3}$

Quando elevamos uma potência a outro expoente podemos multiplicar os expoentes para uni-los:

$2^x\cdot 2^{2x+2}\cdot 2^{3x+6}=2^{4x+12}$

Quando multiplicamos potências de mesma base podemos conservar a base e somar os expoentes:

$2^{x+2x+2+3x+6}=2^{4x+12}$

$2^{6x+8}=2^{4x+12}$

E finalmente, estas potências de base 2 só serão iguais se seus expoentes também forem iguais, ou seja:

$6x+8=4x+12$

$6x-4x=12-8$

$2x=4$

$x=\frac{4}{2}$

$\boxed{x=2}$

3. Começamos com a seguinte inequação:

$(\frac{1}{2})^{x^2-x} > 1$

Deixamos tudo na base 2:

$(2^{-1})^{x^2-x} > 2^0$

Quando elevamos uma potência a outro expoente podemos multiplicar os expoentes para uni-los:

$2^{-x^2+x} > 2^0$

Uma potência de base 2 só será maior que outra potência de base 2 se seu expoente também forem maior, ou seja:

$-x^2+x > 0$

O lado esquerdo desta inequação cria uma parábola com concavidade voltada para baixo no gráfico (sabemos disso porque o coeficiente "a" é negativo). Este tipo de parábola gera valores positivos (maiores que 0) entre as suas raízes. Vamos então descobrir as raízes:

$-x^2+x=0$

$x(-x+1)=0$

$x_1=0$

$-x_2+1=0$

$-x_2=-1$

$x_2=1$

Como explicado acima, a solução será os valores que estão entre estas raízes, ou seja:

$\boxed{0 < x < 1}$