Question

Peço ajuda aos profissionais em lidar com problemas de potenciação.

Determine as três raízes reais da equação abaixo:

2^(333x - 2) + 2^(111x + 2) = 1 + 2^(222x + 1)​

Answer 1

Vou reforçar alguma propriedades básicas de potenciação:

$a^{m+n}=a^m*a^n$

$a^{m*n}=(a^m)^n$

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Agora, para a resolução:

$2^{333x - 2} + 2^{111x + 2} = 1 + 2^{222x + 1}\\\\2^{-2}*2^{333x}+2^2*2^{111x}=1+2^1*2^{222x}\\\\2^{-2}*(2^{111x})^3+2^2*2^{111x}=1+2*(2^{111x})^2$

Para facilitar, vou substituir os termos em comum por uma incógnita:

$Seja$  $y=2^{111x}$:

$2^{-2}*(2^{111x})^3+2^2*2^{111x}=1+2*(2^{111x})^2\\2^{-2}*y^3+4*y=1+2y^2\\\\\frac{y^3}{4}-2y^2+4y-1=0$

Obs: queremos a soma das raízes de x, e não de y. Logo, temos de usar a seguinte relação:

$2^{111x}=y\\111x=log_2y\\x=\frac{1}{111}*log_2y$

Logo:

$x_1+x_2+x_3\\=\frac{1}{111}*log_2y_1+\frac{1}{111}*log_2y_2+\frac{1}{111}*log_2y_3\\=\frac{1}{111}*log_2(y_1*y_2*y_3)$

Logo, queremos na verdade o produto das raízes da equação, e temos pelas relações de Girard:

$y_1*y_2*y_3=-\frac{d}{a}\\ =-\frac{(-1)}{\frac{1}{4} }=-(-1)*4=4$

Por fim, temos o seguinte resultado:

$x_1+x_2+x_3\\=\frac{1}{111}*log_2(y_1*y_2*y_3)\\=\frac{1}{111}*log_24\\ =2/111$

Resposta: 2/111.

Se estiver com alguma dúvida, pode me chamar nos comentários. Bons estudos ^~