Question

Peço ajuda aos membros do time de respostas ou gênios de plantão do Brainly.

Answer 1

Explicação:

Bom primeiro vamos encontrar o campo elétrico gerado por essa esfera, para isso a maneira mais simples é utilizando a Lei de Gauss, que informa que a integral de superfície do campo por uma superfície Gaussiana é igual a carga total da esfera decidida pela permissividade elétrica do meio (e). Se escolhermos uma superfície Gaussiana esférica teremos que o campo elétrico sempre será normal a superfície logo a integral de superfície pode ser simplificada como o produto do campo pela a área da superfície, se escolheremos uma superfície de raio r teremos que o resultado da integral será: E*(4πr²). Como a carga está distribuída homogeneamente pela esfera para um dado volume esférico de raio r a carga total dessa região será (4πr³/3)*(3Q/4πR³) = Qr³/R³, onde R é o raio da esfera. Dessa forma temos que:

4πr²*E = (Qr³/R³)/e

E = (1/(4πe))*Qr/R³ para r indo de 0 até R.

Para uma posição fora da esfera o compo eletrico pode ser determinado considerando a esfera como sendo um ponto dessa forma teremos que:

E = (1/(4πe))*Q/r²

Sabemos que o campo elétrico é menos o gradiente do potencial elétrico. Dessa forma podemos escrever o potencial elétrico na direção r como sendo menos integral do campo dr.

Assim sendo teremos:

V = - §E dr (considera § como sendo o símbolo de integral)

V = - §(1/(4πe))*Qr/R³ dr (de 0 até R) - §(1/(4πe))*Q/r² dr (de R até infinito)

Vou chamar (1/4πe de K pra facilitar na hora de escrever)

V = - (KQ/R³)*§r dr - KQ*§dr/r²

V = - (KQ/2R³) r² - ( - KQ/r)

V = - (KQ/2R³)*R² + 0 - ( 0 + KQ/R)

V = - KQ/2R - KQ/R

V = - 3KQ/2R

A energia de ligação da partícula será dada por:

U = q*V

U = -3KQq/2R

Logo a energia potencial no centro da esfera é igual a U e sua energia cinética será igual mv²/2, como no infinito tanto a energia potencial quanto a cinética será igual a zero temos que no centro da esfera:

-U = T

3KQq/2R = mv²/2

v = √(3KQq/mR)

Para a particula em R/2 :

V = - §(1/(4πe))*Qr/R³ dr (de R/2 até R) - §(1/(4πe))*Q/r² dr (de R até infinito)

V = - (KQ/2R³) r² - ( - KQ/r)

V = - KQ/2R + KQ/8R - KQ/R

V = -11KQ/8R

-U = T

11KQq/8R = mv²/2

v = √(11KQq/4mR)

Olha talvez tenha trocado algum sinal pelo caminho mas acho que a ideia central e essa, faz tempo que n resolvo esse tipo de problema, outra coisa que pode ocorrer é que o problema esteja considerando o potencial grafitacional tbm, só que só fui perceber isso quando tava acabando a conta, mas para calcular ele é exatamente igual ao elétrico só que ao invez de calcular o campo elétrico calcula o campo grafitacional daí ali na lei de Gauss no lugar de usar Q tu usa M. Desculpe pela resposta meio confusa mas espero ter ajudado.