Question

(PAVE - 2008) Uma função quadrática com gráfico passando pelo
ponto P(1, 2) e cuja única raiz é - 1 pode ser escrita corretamente
como:
(a) f(x) = x² + 2x +1.

(b) f(x) = x² + x +1.

(c) f(x) = 1/2x²+x+ 1/2

(d) f(x) = x² – 2x -1.

(e) f(x) = 1/2x²- x + 1.​

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre funções quadráticas.

Seja uma função quadrática cujas raízes são $r_1$ e $r_2$, com $r_1=r_2$. Podemos reescrevê-la como a forma canônica:

$f(x)=a\cdot(x-r_1)^2$, em que $a\neq0$ é o coeficiente dominante.

Então, devemos determinar uma função quadrática que passa pelo ponto $P~(1,~2)$ e apresenta duas raízes reais e iguais a $-1$.

Com base nestes dados, sabemos que $r_1=-1$ e $f(1)=2$.

Assim, teremos:

$f(x)=a\cdot (x-(-1))^2\\\\\\ f(x)=a\cdot(x+1)^2$

Fazendo $x=1$, teremos:

$f(1)=a\cdot(1+1)^2$

Some os valores e calcule a potência. Calcule $f(1)$ de acordo com o dado supracitado.

$2=a\cdot2^2\\\\\\ 4a = 2$

Divida ambos os lados da equação por um fator $4$ e simplifique a fração

$a=\dfrac{2}{4}\\\\\\ a = \dfrac{1}{2}$

Então, temos:

$f(x)=\dfrac{1}{2}\cdot(x+1)^2$

Expanda o binômio, utilizando a propriedade: $(b+c)^2=b^2+2bc+c^2$

$f(x)=\dfrac{1}{2}\cdot(x^2+2x+1)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e simplifique a fração

$f(x)=\dfrac{1}{2}x^2+x+\dfrac{1}{2}~~\checkmark$

Esta é a função quadrática que satisfaz as condições requeridas pelo enunciado e é a resposta contida na letra c).