Paulo e marta estao brincando de jogar dados. o alvo é um disco circular de centro O . paulo joga um dardo , que atinge o alvo num ponto , que vamos denotar por P; em seguida, marta joga outro dardo , que atinge um ponto denotado por M.
sabendo- se que a distancia do ponto P ao centro O do alvo PO=10 cm , que a distancia de p a m é PM =14 cm e que o angulo PÔM mede 120° , calcule a quantos centimetros do centro Marta acertou o seu dardo.
A-12
B-9
C-8
D-6
Soluções para a tarefa
b² = a² + x² - 2.a.x.cos(B)
PO=a=10
PM=b=14
MO=x
cos(B)=cos(120)=-1/2
b² = a² + x² - 2.a.x.cos(B)
14² = 10² +x² -2.10.x.(-1/2)
x² +10x -96 = 0
a = 1
b = 10
c = -96
♥² = b² - 4ac = 100+384 = 484
♥ = 22
x´ = -b/2a + ♥/2a = -10/2 + 22/2 = 6
x´´ = -b/2a - ♥/2a = -10/2 - 22/2 = -16 não serve
a distância do ponto M ao centro O é 6 cm
Marta acertou o seu dardo a 6 cm do centro.
Vamos utilizar a lei dos cossenos.
Observe o que diz tal lei:
Em todo triângulo, o quadrado de um lado é igual a soma dos quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo por ele formado.
Dica: utilizamos a lei dos cossenos quando temos dois lados e um ângulo.
Vamos chamar o segmento MO de x. Sendo assim, temos que:
14² = x² + 10² - 2.x.10.cos(120)
196 = x² + 100 + 10x
x² + 10x - 96 = 0.
Temos aqui uma equação do segundo grau. Para resolvê-la, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:
Δ = 10² - 4.1.(-96)
Δ = 100 + 384
Δ = 484
.
Como x é uma medida, então não podemos utilizar o valor negativo.
Portanto, x é igual a 6.
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