Question

Paula amarrou os dois extremos de uma corda obtendo um laço de 100 cm. Qual o retângulo de maior área que se pode formar com esse laço?

Answer 1

Como o laço tem 100 cm, este é o perímetro do nosso retângulo.
Chamando os lados de x e y, temos:

Perímetro = 2x + 2y = 100
2.(x + y) = 100
x + y = 50 (i)

A área do retângulo é dada por:
A = x.y  (ii)

Isolando y em (i), temos:
y = 50 - x

Substituindo em (ii), ficamos com:
A = x.(50 - x)
A = 50.x - x²
A = - x² + 50.x

Observemos que A é uma função do segundo grau, com coeficiente a < 0.
Logo, A é uma parábola com concavidade para baixo e, portanto, tem um ponto de máximo.

O enunciado pede qual a maior área, isto é, qual o maior valor que A pode assumir. Queremos então saber qual o valor da ordenada do vértice.

Amáx = - Δ/4a

Na função A, temos:
a = - 1
b = 50 
c = 0

Amáx = - (b² - 4.a.c)/4a
Amáx = - [50² - 4.(-1).0]/4.(- 1)
Amáx = 2500/4
Amáx = 625

Solução: a área máxima será igual a 625 cm².

Observação: nosso retângulo terá área máxima quando for na verdade um quadrado. Substituindo o valor 625 em (ii) e resolvendo o sistema, chegaremos à conclusão que x = y = 25 cm.