Question

Patrick ouviu um colega dizer que os triangulos equilateros sao acutangulos e que os triangulos isosceles podem ser retângulos,acutangulos ou obtusagulos. isso o deixou meio confuso! essas afirmativas sao verdadeiras ou falsas? porque?

Answer 1

Olá.

Informe a Patrick que seu colega está bem informado :-)

Tomarei o seguinte Teorema e uma definição para provar as afirmações:

Teorema: A soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180°.

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1ª Afirmação:  Triângulos equiláteros são acutângulos.
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Prova: Sabemos que triângulos equiláteros possuem três ângulos internos iguais(chamaremos de x). Logo:

x + x + x = 180
3x = 180

x = 60°

Assim, todos os ângulos medem 60°, e como são menores que 90°, concluímos que triângulos retângulos são acutângulos.

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Triângulos isósceles podem ser retângulos, acutângulos ou obtusângulos
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Provas:

Retângulos: Façamos um ângulo igual a 90° e os outros dois iguais a x(como é isósceles, tem dois ângulos iguais)

90 + x + x = 180
2x = 180 - 90
2x = 90
x = 45°

Logo, o triângulo retângulo com ângulos de 45° é isósceles.

Acutângulos: É trivial. Um triângulo equilátero é isósceles e é acutângulo. (Se não te satisfazer, use o triângulo com ângulos 62°, 59°, 59°, que também é isósceles e acutângulo);

Obtusângulos: Seja o ângulo maior M e os dois menores iguais a m. Assim, temos:

M + 2m = 180

2m = 180 - M

m = (180 - M) / 2

Ora, para o ângulo ser obtusângulo basta que tenha um ângulo maior que 90°(obviamente, menor que 180° para que exista). Assim, é garantido que exista tal triângulo para M < 180°;

Como exemplo numérico, façamos M = 120°

m = (180 - 120) / 2 = 60 / 2

m = 30°

Logo, teremos um triângulo com os ângulos 30°, 30° e 120°, que é obtusângulo.

Portanto, todas as afirmações são verdadeiras.