Question

(passo a passo por favor) o volume do sólido obtido girando-se em relação ao eixo y, a região limitadas pelas retas x=0, y=0, y=1 e y=√x^5 é: a-) 5π/9 u.v. b-)4π u.v c-)9π/5 u.v d-)13π u.v

Answer 1

Olá!

Se o sólido irá girar em torno do eixo y, ou de qualquer reta que esteja na vertical (x = 1, x = 2, etc.) sempre terá que encontrar a função inversa, feito isso, os limites de integração para esse tipo de rotação ocorrem na vertical, ou seja, no eixo y. Nesse caso, de y = 0 a y = 1. E como o sólido não está girando em torno de uma reta específica (x = 1, x = 2, etc.), o raio será a própria função inversa. Lembrando que o raio é a distância da função ao eixo de rotação, que geralmente é uma diferença.

A função inversa temos:

$y=x^{5/2} \\\\ x=y^{2/5}$

E agora o volume será:

$\displaystyle V = \int_a^b \pi \cdot r^2 \, dr \\\\\\ V = \int_0^1 \pi \cdot (y^{2/5})^2 \, dy \\\\\\ V = \int_0^1 \pi \cdot y^{4/5} \, dy \\\\\\ V = \frac{5 \pi}{9}x^{9/5} \, \, \Bigg |_0^1 \\\\\\ V = \frac{5 \pi}{9}$