Question

Passo a passo dessa questão, por favor, que Deus abençoe

Answer 1

Resposta:

Área polígono azul: A(DBCE) = 2√3 - 2   ou   A(BDCE) ≅ 1,464

Explicação passo a passo:

1) Definir os ângulos (ver figura anexa): a diagonal do quadrado é alinhada à base do Δ ABF, formando o ângulo raso FBG. O ângulo ABF = 60°, pois ΔABF é equilátero. O ângulo CBG = 45°, por ser o ângulo entre o lado do quadrado e a sua diagonal. Agora já podemos calcular os ângulos ABC e BAC:

β = ABC = FBG - ABF - CBG = 180° - 60° - 45°  → Ângulo β = 75°

∝ = BAC = BCA - ABC = 90° - 75°  →  Ângulo ∝ = 15°  

2) Cálculo dos lados do triângulo retângulo ΔABC:

- ΔABF é equilátero, então lado AB = 4;

- Lado BC = AB.cos75° = 4(√6-√2)/4  →   BC = √6 - √2

- Lado AC = AB.sen75° = 4(√6+√2)/4 →   AC = √6 + √2

3) Cálculo da área do triângulo retângulo ΔABC:

A = b.h/2 = AC.BC/2 = 1/2.(√6+√2)(√6-√2) → (Produto notável: a² - b²);

A = 1/2[ (√6)² - (√2)²] = (6 - 2)/2   → Área do ΔABC = 2

4) Cálculo da área do triângulo retângulo ΔADE:

Lado AD = AB/2 = 4/2  →   AD = 2

Ângulo DAE = BAC = ∝ = 15°   →   tg15° = 2 - √3

Observe que:  DE/AD = tg 15°   →   DE = AD.tg 15°

Lado DE = 2.(2 - √3)  →  DE = 4 - 2√3

Área do triângulo ΔADE = b.h/2 = 1/2.AD.DE = 1/2×2×(4 - 2√3)

Área do ΔADE = 4 - 2√3

5) Cálculo da área azul DEBC: será a diferença entre as áreas dos Δ:

A(DBCE) = A(ΔABC) - A(ΔADE) = 2 - (4 - 2√3)

A(DBCE) = 2√3 - 2   ou:

A(BDCE) ≅ 1,464