Question

passe para forma trigonometrica z=1+ i

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para passar para a forma trigonométrica o seguinte complexo:

z = 1 + i .

Note, Valdir, que: como já vimos em uma mensagem anterior sua, que pedia o módulo e o argumento do complexo acima, tínhamos que:

i) para o módulo:

|z| = √(1²+1²)
|z| = √(2)  <---- Este é o módulo do complexo z = 1 + i

e

ii) para o argumento:

cos(α) = 1/√(2) ---- que, racionalizando, ficaremos com:
cos(α) = √(2)/2
e
sen(α) = 1/√(2) ---- que, igualmente, racionalizando-se, teremos:
sen(α) = √(2) / 2

Assim, como o seno e o cosseno, em todo o círculo trigonométrico, são iguais a √(2)/2 apenas no ângulo de 45º (ou π/4 radianos), então teremos que o argumento será:

α = 45º (ou π/4 radianos).


iii) Agora, que já temos o módulo e o argumento do complexo z = 1 + i, vamos encontrar qual é a sua forma trigonométrica.

Antes veja que a forma trigonométrica de um complexo, da forma z = a+bi, com módulo igual a |z| e argumento igual a "α", será dada assim:

z = |z|*[cos(α)+-i.sen(α)].

Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então a forma trigonométrica do complexo z = 1 + i, cujo módulo é: √(2) e cujo argumento é:  45º ou π/4 radianos, será dada por:

iii.a) A forma trigonométrica em graus será:

z = √(2)*[cos(45º) + i.sen(45º)] 

ou

iii.b) A forma trigonométrica em radianos será:

z = √(2)*[cos(π/4) + i.sen(π/4)]


Como você viu aí em cima, você escolhe qual a forma quer apresentar: se a forma em graus ou se a forma em radianos, pois são ambas equivalentes.


Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.

Answer 2

Forma trigonométrica do complexo

• z = √2 ( cos π/4 + isenπ/4 )

A fórmula trigonométrica dos números complexos é dada por $\sf z = \rho ( cos \theta + isen\theta)$ , isso pode ser escrito apenas como $z = cis \theta$ . Para começar temos que calcular o módulo, calculamos o argumento, e jogamos na fórmula. Veja abaixo

• 1) Módulo

$\Large \boxed{\begin{array}{c} \\\sf \rho = \sqrt{ 1^2 + 1^2 } \\\\\sf \rho = \sqrt { 1+1 } \\\\\sf \rho = \sqrt{2} \\\: \end{array}}$

• 2) Argumento

$\Large \boxed{\sf sen\theta =\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} =\dfrac{\sqrt{2}}{2} }$

$\Large \boxed{\sf cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} }$

Sen = √2/2 e cos = √2/2, pela tabela dos ângulos notáveis temos que o ângulo theta vale 45°, que pode ser escrito como π/4. Jogamos na fórmula:

$\Large \sf z = \sqrt{2} \Bigg(cos\dfrac{\pi}{4} + isen{\pi}{4} \Bigg) \\\\ \Large\sf ou \: \: z = \sqrt{2} cis\dfrac{\pi}{4}$

❄️Resposta:

$\huge \boxed{\boxed{\sf z = \sqrt{2} cis \dfrac{\pi}{4} }}$

$\huge\text{\sf -----------\ \sf\small\LaTeX\ \,\huge-----------}$

$\Large \boxed{ \boxed{ \mathbb{\displaystyle\sum}\sf{uri}\tt{lo}\bf{G\Delta}}}$