Question

Passe para a forma trigonométrica o número z= -7-7i. Se possível por a resolução por favor.

Answer 1

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Dado um número complexo na forma cartesiana
 
     z = a + bi

com  a,  b  reais,  temos que

     •   A parte real de  z  é  a:   $\mathsf{Re(z)=a;}$

     •   A parte imaginária de  z  é  b:   $\mathsf{Im(z)=b.}$


Sabendo disso, podemos obter
 
     •   O módulo de  z,  que é dado por
 
         $\mathsf{|z|=\sqrt{a^2+b^2};}$


     •   O argumento de  z,  que é um ângulo  θ  tal que
 
         $\left\{\!\begin{array}{l} \mathsf{cos\,\theta=\dfrac{Re(z)}{|z|}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}\\\\ \mathsf{sen\,\theta=\dfrac{Im(z)}{|z|}=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}} \end{array} \right.\qquad\qquad \mathsf{-\pi <\theta \le \pi.}$


Dessa forma, o número  z  expresso na forma trigonométrica será

     $\mathsf{z=|z|\cdot (cos\,\theta+i\cdot sen\,\theta)}$

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Para o número complexo dado nesta tarefa,
 
     $\mathsf{z=-7-7i}$

temos  $\mathsf{a=-7,~~b=-7.}$


•   Calculando o módulo de  z:

     $\mathsf{|z|=\sqrt{(-7)^2+(-7)^2}}\\\\ \mathsf{|z|=\sqrt{49+49}}\\\\ \mathsf{|z|=\sqrt{98}}\\\\ \mathsf{|z|=\sqrt{7^2\cdot 2}}\\\\ \mathsf{|z|=\sqrt{7^2}\cdot \sqrt{2}}\\\\ \mathsf{|z|=7\sqrt{2}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{m\'odulo de z.}$


•   Calculando o argumento de  z:
  
     $\left\{\!\begin{array}{l} \mathsf{cos\,\theta=\dfrac{-\diagup\!\!\!\! 7}{\diagup\!\!\!\! 7\sqrt{2}}=-\,\dfrac{1}{\sqrt{2}}=-\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\\\\ \mathsf{sen\,\theta=\dfrac{-\diagup\!\!\!\! 7}{\diagup\!\!\!\! 7\sqrt{2}}=-\,\dfrac{1}{\sqrt{2}}=-\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \end{array} \right.$


Como o cosseno e o seno são ambos negativos, então  θ  é um ângulo do  3º  quadrante:
  
     $\mathsf{\Rightarrow\quad\theta=-\,\dfrac{3\pi}{4}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{argumento de z.}$


Por fim, expressamos  z  na forma trigonométrica:

     $\mathsf{z=|z|\cdot (cos\,\theta+i\cdot sen\,\theta)}\\\\\\ \mathsf{z=7\sqrt{2}\cdot \left[cos\!\left(\!-\,\dfrac{3\pi}{4}\right)+i\cdot sen\!\left(\!-\,\dfrac{3\pi}{4}\right)\right]}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$


Bons estudos! :-)