Question

Passando o número complexo z = 5 – 5i para a forma trigonométrica, obtém-se

Answer 1

Temos o número complexo:

$\begin{array}{l}\sf z=5-5i\end{array}$

com a parte: real (a) = 5 e imaginária (b) = – 5.

Devemos passar para a forma trigonométrica.

Ela é dada por:

$\boxed{\begin{array}{l}\sf z=\rho\cdot(cos\:\theta+i\:sen\:\theta)\end{array}}$

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Assim, precisamos determinar o rho (ρ), que é o módulo do número complexo, e o theta (θ) que é o argumento.

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Para determinar o módulo:

$\begin{array}{l}\sf\rho=\sqrt{a^2+b^2}\\\\\sf\rho=\sqrt{5^2+(-5)^2}\\\\\sf\rho=\sqrt{25+25}\\\\\sf\rho=\sqrt{50}\\\\\sf\rho=\sqrt{2\cdot5^2}\\\\\!\boxed{\sf\rho=5\sqrt{2}}\end{array}$

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Para determinar o argumento:

$\begin{array}{l}\begin{cases}\sf sen\:\theta=\dfrac{b}{\rho}\\\\\sf cos\:\theta=\dfrac{a}{\rho}\end{cases}\end{array}$

Assim:

$\begin{array}{l}\begin{cases}\sf sen\:\theta=\dfrac{-5~~}{5\sqrt{2}}\\\\\sf cos\:\theta=\dfrac{5}{5\sqrt{2}}\end{cases}\\\\\begin{cases}\sf sen\:\theta=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\\\sf cos\:\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{cases}\\\\\begin{cases}\sf sen\:\theta=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\\\\sf cos\:\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\end{cases}\\\\\begin{cases}\sf sen\:\theta=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\\\sf cos\:\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{cases}\\\\\end{array}$

Assim, temos que seno e cosseno têm valores opostos:

• senθ = – √2/2

• cosθ = √2/2

Veja que na tabela de ângulos notáveis o theta é exatamente 45º (mas claro, não esquecendo que o seno continua negativo pois – √2/2):

• – sen(45º)

• cos(45º)

No quarto quadrante se encontram:

• – sen(45º) => sen(315º)

• cos(45º) => cos(315º)

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Assim, já obtemos tudo que precisávamos, o módulo e o argumento:

ρ = 5√2 e θ = 315º

Substituindo na forma trigonométrica obtemos:

$\begin{array}{l} \\ \sf z=\rho\cdot(cos\:\theta+i\:sen\:\theta)\\\\\!\boxed{\boldsymbol{\sf z=5\sqrt{2}\cdot(cos\:(315^\circ)+i\:sen\:(315^\circ))}} \\ \\ \end{array}$

Resposta: Opção 1

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Att. Nasgovaskov