Question

partindo de um quadrado Q1, cujo o lado mede "a" metros Q2,Q3,Q4... ,Qn tais que as verti es de cada quadrado sejam os pontos medios dos lados do quadraso anterior. Calcular,então, a soma das áreas dos quadrados Q1, Q2, Q3,...Qn.​

Answer 1

A soma das áreas será $\sum_{i=1}^n \dfrac{a^2}{2^{i-1}}$

A área do primeiro quadrado de lado $x_1=a$ será a².

Os lados do segundo quadrado podem ser encontrados pelo teorema de pitagoras. (observe a figura)

$x_2^2=\dfrac{a^2}{2^2}+\dfrac{a^2}{2^2}$

$x_2^2=\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{a^2}{4}$

$x_2=\sqrt{2\dfrac{a^2}{4}}$

$x_2=\sqrt{2}\dfrac{a}{2}$

Assim a área do quadrado de lado $x_2$ será

$area=x_2^2=2\dfrac{a^2}{4}$

$area=\dfrac{a^2}{2}$

por pitagoras, encontramos o lado do terceiro quadrado, lembrando que os catetos serão da forma

$\dfrac{x_2}{2}$

$x_3^2=\dfrac{x_2^2}{2^2}+\dfrac{x_2^2}{2^2}$

$x_3^2=\dfrac{1}{4}\left(2\dfrac{a^2}{4}+2\dfrac{a^2}{4}\right)$

$x_3^2=\dfrac{1}{4}*4\dfrac{a^2}{4}$

$x_3=\dfrac{a}{2}$

e terá área igual a $x_3^2=\frac{a^2}{4}$.

vemos entao se formar o seguinte padrão a respeito das áreas.

$x_1\implies a^2\\x_2\implies \dfrac{a^2}{2}\\x_1\implies \dfrac{a^2}{4}$

Logo, para n quadrados, a soma das áreas será

$x_1^2+x_2^2+x_3^2+... =a^2+\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{a^2}{4}+...$

Que escrevendo como somatório:

$\sum_{i=1}^n \dfrac{a^2}{2^{i-1}}$