Question

Para verificar o entendimento do conteúdo apresentado, construa o algoritmo Briot–Rufini para determinar o quociente de P(x) = x5 – 2x4 – 7x3 + 3x2 + 8x + 57 por x – 3

Answer 1

O quociente de P(x) = x⁵ – 2x⁴ – 7x³ + 3x² + 8x + 57 por x – 3 é:

Q(x) = x⁴ + x³ - 4x² - 9x - 19

Explicação:

Algoritmo Briot–Ruffini.

> Colocamos a raiz do divisor e os coeficientes do dividendo (ordenadamente do termo de maior grau para o termo de menor grau) no dispositivo:

resto do divisor | coeficientes do dividendo

                           |

Fica:

 3  |  1   -2   -7   3   8   57

     |

> Abaixamos o primeiro coeficiente do dividendo:

 3  |  1   -2   -7   3   8   57

     |  1

> Multiplicamos a raiz do divisor pelo coeficiente repetido e somamos o produto com o segundo coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste:

3 · 1 + (-2) = 3 - 2 = 1

 3  |  1   -2   -7   3   8   57

     |  1     1

> Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado abaixo do 2º coeficiente e somamos o produto com o 3º coeficiente, colocando o resultado abaixo deste, e assim sucessivamente:

3 · 1 + (-7) = 3 - 7 = - 4

 3  |  1   -2   -7   3   8   57

     |  1     1   -4

3 · (-4) + 3 = - 12 + 3 = - 9

 3  |  1   -2   -7   3   8   57

     |  1     1   -4   -9

3 · (-9) + 8 = - 27 + 8 = - 19

 3  |  1   -2   -7   3    8   57

     |  1     1   -4   -9  -19

3 · (-19) + 57 = - 57 + 57 = 0

 3  |  1   -2   -7   3    8   57

     |  1     1   -4   -9  -19   0

> Fazemos um tracejado entre o último e o penúltimo números obtidos. O último número é igual ao resto da divisão e os números que ficam à esquerda deste são os coeficientes do quociente:

 3  |  1   -2   -7   3    8   | 57

     |  1     1   -4   -9  -19 |  0  <= (resto)

Portanto:

Q(x) = x⁴ + x³ - 4x² - 9x - 19  e  r = 0

Answer 2

O quociente (Q(x)) é 1$x^{4}$ + 1$x^{3}$ -4$x^{2}$ -9x - 19

Passo 1: Primeiramente, precisamos lembrar que quociente é o resultado de uma divisão. Logo, a questão quer que achemos qual o resultado da divisão de P(x) por x - 3. Além disso, o comando nos pede para alcançarmos a resposta pelo método de Briot–Ruffini.

Passo 2: Agora, precisamos nos lembrar como executar o método de Briot–Ruffini.  A primeira etapa é achar uma das raízes dessa divisão. Nós sabemos que se x - 3 for igual a zero, nós conseguimos dividir P(x) e encontrarmos uma raiz real, pois qualquer número dividido por 0 é igual a 0. Assim:

x - 3 = 0

x = 3

Passo 3: Agora que temos a primeira raiz, devemos escrever, em uma tabela, a raiz e todos os coeficientes de P(x), lembrando que coeficiente são os números da função:

- P(x) = $x^{5}$ - $2x^{4}$- $7x^{3}$ + $3x^{2}$ + 8x +57

- Coeficientes: 1, (-2), (-7), 3, 8 e 57

- Tabela:

3  |  1   -2   -7   3   8   57

    |

Passo 4: Agora, nós repetimos o primeiro coeficiente na linha debaixo e realizamos o seguinte cálculo: Devemos sempre multiplicá-lo por 3 e somar com o valor do coeficiente, para achar o número da sequência:

3  |  1   -2   -7   3   8   57

    |  1

1. 3 + (-2) = 1

∴ 1 também é o próximo número depois do 1:

3  |  1   -2   -7   3   8   57

    |  1     1

Passo 5: Devemos repetir esse processo até o final, de modo que embaixo do último coeficiente (que, neste caso, é o 57) sempre deve dar igual a zero. Se isso não acontecer, então é porque erramos algum cálculo para trás:

5.1: 1 . 3 + (-7) = -4

3  |  1   -2   -7   3   8   57

    |  1     1   -4

5.2: (-4) . 3 + 3 = -9

3  |  1   -2   -7   3   8   57

    |  1     1   -4   -9

5.3: (-9) . 3 + 8 = -19

3  |  1   -2   -7   3    8   57

    |  1     1   -4   -9  -19

5.4: (-19) . 3 + 57 = 0

3  |  1   -2   -7   3    8   57

    |  1     1   -4   -9  -19   0

Passo 6: O último número (0) é o resto da divisão de P(x) por x - 3 quando o X vale 3. E essa nova sequência de número que encontramos é justamente os coeficientes da função que representa o resultado (quociente) da divisão de P(x) por x - 3. Então P(x) divido por x - 3 vale:

1       1    -4    -9    -19  = coeficientes

↓       ↓     ↓    ↓       ↓

1$x^{4}$ + 1$x^{3}$ -4$x^{2}$ -9x - 19

Obs.: É preciso lembrar que quando aplicamos o método de Briot–Ruffini nós fazemos um decaimento, ou seja, o quociente (resultado da divisão) terá um grau a menos do dividendo (que, neste caso, era o P(x) ). Ou seja, P(x) tinha grau 5 (pois esse era o maior expoente). Então o quociente terá grau 4 até o grau 0 (19$x^{0}$ = 19.1 - 19).

Logo, o quociente (Q(x)) é 1$x^{4}$ + 1$x^{3}$ -4$x^{2}$ -9x - 19

• Para praticar mais o método Briot–Ruffini, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/840214