Question

Para verificar a posição entre uma reta e uma circunferência ( secante, tangente ou exterior), resolve-se o sistema com as 2 equações, obtendo-se uma equação do 2º grau.
Por que a posião está relacionada com o valor do delta,> 0 é secante,  delta = 0 é tangente e delta < 0 e exterior? 

Answer 1

exemplo:
equação da circunferencia
$(x+2)^2+y^2=25$

equação da reta
$x+y-5=0$

pra saber a posição entre a reta e a circunferencia vc monta um sistema..para achar os pontos que a reta tem em comum com a circunferencia

$\begin{Bmatrix}x+y-5=0\\\\(x+2)^2+y^2=25\end{matrix}$

para resolver esse sistema vou isolar o y... na primeira equação e substituir o valor dele na segunda
$x+y-5=0\\\\y=5-x$

substituindo o valor de y na segunda equação
$\boxed{(x+2)^2+(5-x)^2=25}$

resolvendo essa equação nós acharemos os pontos que a reta tem em comum com a circunferencia

$(x+2)^2+(5-x)^2=25\\\\=2x^2-6x+29=25\\\\=2x^2-6x+29-25=0\\\\2x^2-6x+4=0\\\\\boxed{x^2-3x+2=0}$

resolvendo essa equação do segundo grau vc sabera quais os pontos que a reta tem em comum com a circunferencia...mas como vc só quer saber se ela é tangente, secante, ou é exterior...então é só vc calcular o delta...porque quando

equação do segundo grau..

Δ> 0 = a equação tem duas raízes 'corta o eixo x duas vezes ' 
( nesse caso significa que tem dois pontos em comum...e se a reta corta a circunferencia em dois pontos...ela é uma reta secante)

se 
Δ=0 ..a equação só tem uma raíz. só toca uma vez no eixo x
( nesse caso significa que só tem um ponto em comum com a circunferencia..e quando a reta só toca a circunferencia em um unico ponto..ela é uma reta tangente a circunferencia)

se
Δ<0 ...a equação não possui raízes reais (ela não toca o eixo x)
 então neste caso ela não tocaria na circunferencia por isso seria uma reta externa


calculando
$x^2-3x+2=0$
A = 1
B = -3
C = 2

$\Delta = b^2-4*a*c\\\\\Delta=(-3)^2-4*1*2\\\\\Delta=9-8\\\\\Delta=1$

como delta é maio que 0..a equação terá duas soluções..e isso significa que irá cortar a circunferencia duas vezes...portanto ela é uma reta tangente a circunferencia