Para uma aula de Geometria Espacial, o professor Paulo decidiu levar uma pirâmide quadrangular regular de papelão. Para diferenciar suas faces, resolveu pintá-las cada uma com uma cor diferente. Para isso, ele dispunha de 6 cores distintas. O número de maneiras como Paulo pode pintar esse sólido é igual a:
a) 30
b) 60
c) 90
d) 120
e) 180
Soluções para a tarefa
Note que essa pirâmide tem 5 lados ...
1 da base e 4 lados laterais ...
E temos 6 cores ...
Podemos fazer arranjo de 6 tomados 5 a 5 ...
A 6,5
6!/(6-5)!
6!/1!
6.5.4.3.2.1!/1!
6.5.4.3.2
30 . 24 = 720 maneiras.
Favor conferir o gabarito. ok
Resposta:
180
Explicação passo-a-passo:
O gabarito está correto. Na verdade restou você dividir por 4 a sua resposta final.
Trata-se de uma permutação circular visto que você se você girar a pirâmide, as posições relativas serão as mesmas, no entanto ao calcular o arranjo você as conta duas vezes.
Imagine que pintamos as quatro faces da pirâmida (esquecemos a base) de vermelho, verde, branco e azul em sequência. Se eu pegar essa pirâmide com minha mão e girar ela 180º, continuará sendo a mesma pirâmide, porém ao contrário. As cores estarão com a mesma sequência. Ao calcular simplesmente um arranjo, você contabiliza essa inversão como outra possibilidade e está errado.
Dessa forma, devemos dividir por 4 o resultado final, que é o número de faces a serem permutadas, evitando assim que contemos pirâmides iguais respeitando a permutação circular.
Número de opções de cores da base: 6
Então:
Abraços