Question

Para um pino de diâmetro 5mm, determine:
a) As tensões nos pino A e B;
b) A tração na chapa intermediária AB em A e B;
c) A tração na chapa BC em B.

Answer 1

Observa o seguinte:

O ponto "A" exerce apenas uma força vertical e horizontal.

Para que esse ponto tenha momento, não podemos ter pino, parafusos etc...

Em "A'' nós teríamos uma resultante vetorial.

$FR_{A} = F_{Ax} i + F_{Ay} j$

Nós não sabemos o sentido das forças.
------------------------------------------------

Já para o ponto B, teremos o mesmo caso.

Porém, contudo, a resultando desse ponto, está no seguimento BC

Suponto que a força em BC esteja orientada para cima.


Teremos:


$F_{BC} = F_{BCx} i + F_{BCy} j$

Porém, observe que temos a inclinação do seguimento BC

A decomposição FBCx está na direção do eixo x e assim como FBCy está na direção do eixo positivo. Ambos em sentido positivo.


$F _{BC} = F_{BC} Cos( \alpha )i + F_{BC} Sen( \alpha )j$

Onde,

$\\ Sen( \alpha ) = \frac{3}{5} \\ \\ Cos( \alpha ) = \frac{4}{5}$

Substituindo,


$F_{BC} = \frac{ 4F_{BC} }{5} i +\frac{ 3F_{BC} }{5}j$
-------------------------------------------------

Por outro lado, temos também uma força T sendo aplicada a 2m de distancia do ponto "A" ou 1m em relação ao ponto B

Com sentido negativo em x e y

$Ft = -( Ft_{x} )i - (Ft_{y} )j$

Usando a decomposição de Ft

$\\ Ft = -FtCos( \beta )i -FtSen( \beta )j \\ \\ Ft = -10t.( \frac{3}{5} )i -10t.( \frac{4}{5} )j$

$\\ Ft = -6ti -8tj$


Calculando o momento no ponto B, seria mais viável. Pois desse modo, nós cancelaríamos maior números de variáveis.

Apenas a componente Fty e Fay nos restaríamos, já que Fbc está passando nesse ponto e as componentes x de Fa e Ft passam pela linha de ação.

Equação de equilíbrio 

∑Mb = 0


$\\- F_{Ay} .(2+1)+ Fty.(1) = 0 \\ \\ 3F_{Ay} = Fty \\ \\ F_{Ay} = \frac{8t}{3} \\ \\ F_{Ay} = 2,67t$

Como deu positivo o resultado, indica que acertamos o sentido de Fay

Agora aplicando o somatório dos momentos em y, teremos o valor de FBcy

∑ Fy = 0

$\\ FAy + Fty + FBCy = 0 \\ \\ 2,67t -8t + \frac{3FCB}{5} = 0 \\ \\ \frac{3FCB}{5} = 5,33t \\ \\ FCB = 8,88t$

Como também deu positivo, isso indica que o sentido adotado foi correto

Agora aplicando o somatório no eixo x:

∑ Fx = 0


$\\ FAx + Ftx + FBCx = 0 \\ \\ FAx - 6t + \frac{4FBc}{5} = 0 \\ \\ FAx - 6t + \frac{4(8,88t)}{5} \\ \\ FAx + 1,11t = 0 \\ \\ FAx = - 1,11t$

Isso indica que o sentido da força FAx é contrário ao que adotamos.

Respondendo a alternativa A

As tensões no Pino A e B ?

O pino exerce duas forças de reações, quanto em A e B. Olhando pela imagem.

Porém, no pino A, devemos calcular a sua resultante FA.

$\\ FA = FAxi + FAyj \\ \\ | FA | = \sqrt{(FAx)^2+(FAy)^2} \\ \\ |FA| = \sqrt{(-1,11t)^2+(2,67t)^2} \\ \\ |FA| = 2,890t$

Usando a fórmula de tensão em A:

σ =  F/Àrea

Onde, F =  FA/2

Pois, tem duas reações internas.

A área é π.r² ou π.D²/4

Convertendo D em m, dividindo por mil.

D = 5ₓ10⁻³m² ou,  r = 2,5ˣ10⁻³m²

Logo,

σ = 

$\\ = \frac{ \frac{FA}{2} }{ \pi r^2} \\ \\ = \frac{FA}{2\pi r^2} \\ \\ = \frac{2,890t}{2 \pi (2,5.10^-^3)^2} \\ \\ = \frac{73.599,9.t}{m^2}$

Substituindo a tonelada força por 1000kg * 9,81

t = 9810N

Logo,

σ = 73.599,9 * 9810 /m²

= 722,01 Mpa
-----------------------------------------

Para o pino BC

F = FBC/2

σ = FBC/2A

Com área igual a:

$\\ = \frac{8,88t}{2 \pi (2,5.10^-3)^2} \\ \\ = \frac{226.127,34t}{m^2}$

Substituindo t = 9810N

$= 2,21 GPa$
-------------------------------------

A tensão na chapa AB, seria a força FAx

σ = FAx/A

Com diametro = 10mm 

o raio  vale 5mm

Convertendo para metros.

r = 5.10⁻³m²

$\\ = \frac{FAx}{A} \\ \\ = \frac{1,11t}{ \pi (r^2)} \\ \\ = \frac{1,11t}{ \pi (5.10^-3)^2} \\ \\ = \frac{14.1329t}{ m^2} \\ \\ = \frac{14.1329(9810N)}{ m^2} \\ \\ = 0,138MPa$
-----------------------------------

Para BC,

A área é o mesmo.

$\\ = \frac{8,88t}{ \pi (5.10^-3)^2} \\ \\ = \frac{113.063,67t}{m^2} \\ \\ = \frac{113.063,67(9810N)}{m^2} \\ \\ = 1,109GPa$