Question

Para u e v não nulos verifique: (a) |u+v|^2 + |u-v|^2 = 2(|u|^2 + |v|^2) (b) Se u.v = |u||v| então os vetores são paralelos. (c) Se u e v são ortogonais então são linearmente independentes.

Answer 1

a)|u+v|^2 + |u-v|^2=(u+v).(u+v)+(u-v).(u-v)
=u.u+ 2u.v+v.v+u.u- 2u.v+v.v
=u.u+ 2u.v+v.v+u.u- 2u.v+v.v
 =2|u|^2+2|v|^2=2|(u|^2+|u|^2)
--------------------
b) u.v=|u||v|
u.v =|u||v|cos x
|u||v|=|u||v| cos x => cos x=1 ou cosx =-1 => x=0 ou x=pi
=> u  é paralelo v
 c)
u e v são ortogonais => u.v=0 então dado x, y E R  x u + y v=0 =>
(x u + y v).u=0 =>x|u|^2+y u.v=0 =>x|u|^2=0 => x=0
(x u + y v).v=0 =>x u.v+y|v|^2=0 =>y|v|^2=0 => y=0
logo u e v são LI