Question

Para tratar de certo paciente, um hospital constituirá uma junta médica a partir dos médicos
plantonistas que lá trabalham. Sabe-se que se essa junta for composta por 4 médicos, o
hospital terá 126 opções de formação da junta.
Nessas condições, é correto afirmar que se essa junta for composta por apenas 3 desses
médicos, o número de opções, de formação dessa junta, que o hospital terá, será igual a

Answer 1

Resposta:

84

Explicação passo-a-passo:

Seja n o número de médicos do hospital. Podemos escolher 4 desses médicos de $\dfrac{n!}{4!(n-4)!}$ maneiras. Ou seja, como sao 126, sabemos que

$\dfrac{n!}{4!(n-4)!} = 126$

Caso a junta fosse composta de 3 médicos, teríamos x maneiras, ou seja

$x = \dfrac{n!}{3!(n-3)!}$

Agora vamos calcular x. Note que

$\dfrac{n!}{4!(n-4)!} = 126 \Rightarrow n(n-1)(n-2)(n-3) = 126 \cdot 4!$

Ou seja, 126*4! é o produto de 4 números naturais consecutivos. Fatorando 126 temos:

126 = 2*3²*7

Logo,

126*4! = 2⁴*3³*7 = 6*7*8*9

Portanto, n = 9

Assim, x = 84

Answer 2

O número de opções de formação dessa junta será igual a 84.

Explicação:

A quantidade de opções de junta médica é calculada pela fórmula de combinação simples:

Cn,p =     n!      

           p!.(n - p)!

Como há 126 opções numa junta formada por 4 médicos, temos:

Cn,p = 126 e p = 4. Logo:

126 =     n!      

         4!.(n - 4)!

Pela definição de fatorial, temos:

n! = n·(n - 1)·(n - 2)·(n - 3)·(n - 4)... Logo:

126 = n·(n - 1)·(n - 2)·(n - 3)·(n - 4)

                      4!.(n - 4)!

126 = n·(n - 1)·(n - 2)·(n - 3)

                      4!

126 = n·(n - 1)·(n - 2)·(n - 3)

                    4·3·2·1

126 = n·(n - 1)·(n - 2)·(n - 3)

                     24

n·(n - 1)·(n - 2)·(n - 3) = 126·24

n·(n - 1)·(n - 2)·(n - 3) = 3024

O produto de quatro números naturais consecutivos é igual a 3024.

Fatorando 3024, temos:

3024 | 2

 1512 | 2

 756 | 2

 378 | 2

  189 | 3

    63 | 3

     21 | 3

       7 | 7

       1

3024 = 2⁴·3³·7

3024 = 16·27·7

3024 = 2·8·9·3·7

3024 = 2·3·8·9·7

3024 = 6·8·9·7

organizando...

3024 = 6·7·8·9

Portanto, os quatro números naturais consecutivos são 6, 7, 8, 9.

Seguindo a ordem n·(n - 1)·(n - 2)·(n - 3), fica: 9, 8, 7, 6.

Logo, n = 9.

Se a junta fosse formada por 3 médicos, a quantidade de maneiras de formar essas juntas seria dada por Cₙ,₃.

Cₙ,₃ =     n!      

           p!.(n - p)!

Como n = 9, temos:

C₉,₃ =     9!      

           3!.(9 - 3)!

C₉,₃ =  9!  

          3!.6!

C₉,₃ = 9·8·7·6!

            3!.6!

C₉,₃ = 9·8·7

            3!

C₉,₃ = 504

            6

C₉,₃ = 84

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