Question

Para todo x∈ R determine e marque a opção que apresenta o conjunto solução da inequação (x-5)(x² – 5x + 6) > 0.

Answer 1

Primeiramente, precisamos encontrar as raízes do polinômio.

$(x-5)(x^2-5x+6)=0\ \to\ \boxed{x=5}\ \mathrm{\acute{e}\ raiz.}$

$x^2-5x+6=0\ \to\ x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{5\pm1}{2}$

$x=\dfrac{5+1}{2}=\dfrac{6}{2}\ \to\ \boxed{x=3}\ \mathrm{\acute{e}\ raiz.}$

$x=\dfrac{5-1}{2}=\dfrac{4}{2}\ \to\ \boxed{x=2}\ \mathrm{\acute{e}\ raiz.}$

Agora, é preciso encontrar os pontos de máximo ou mínimo da função. Para isso, iremos efetuar a distributiva no polinômio e igualar sua primeira derivada a zero:

$p(x)=x^3-10x^2+31x-30\ \to\ p'(x)=3x^2-20x+31$

$p'(x)=0\ \to\ 3x^2-20x+31=0\ \to\ \boxed{x=\dfrac{10}{3}\pm\dfrac{\sqrt{7}}{3}}$

É preciso testar se os valores de x encontrados são máximos ou mínimos:

• Se a derivada de f é positiva à esquerda de x=c e é negativa à direita de x=c, então x=c é um ponto de máximo para f.
• Se a derivada de f é negativa à esquerda de x=c e é positiva à direita de x=c, então x=c é um ponto de mínimo para f.

$x=\dfrac{10}{3}+\dfrac{\sqrt{7}}{3}\ \to\ x\approx4.2152504370215302$

$x=4\ \to\ p'(4)=3(4)^2-20(4)+31\ \to\ p'(4)=-1$

$x=5\ \to\ p'(5)=3(5)^2-20(5)+31\ \to\ p'(5)=6$

Logo, $x=(10+\sqrt{7})/3$ é um valor de x para o ponto de mínimo.

Por $x\approx4.2152504370215302$ estar entre 3 e 5 e ser um valor mínimo, o sinal de $p(x)$ entre 3 e 5 será negativo ($p(x)<0$). Logo, $p(x)$ terá sinal positivo ($p(x)>0$) quando $x<3$ ou $x>5$.

$x=\dfrac{10}{3}-\dfrac{\sqrt{7}}{3}\ \to\ x\approx2.4514162296451365$

$x=2\ \to\ p'(2)=3(2)^2-20(2)+31\ \to\ p'(2)=3$

$x=3\ \to\ p'(3)=3(3)^2-20(3)+31\ \to\ p'(3)=-2$

Logo, $x=(10-\sqrt{7})/2$ é um valor de x para o ponto de máximo.

Por $x\approx2.4514162296451365$ estar entre 2 e 3 e ser um valor máximo, o sinal de $p(x)$ entre 2 e 3 será positivo ($p(x)>0$). Logo, $p(x)$ terá sinal positivo ($p(x)>0$) quando $2<x<3$.

Portanto, o conjunto solução para $p(x)>0$ é a união entre os intervalos encontrados.

$\boxed{\mathbb{S}=\left\{x\in\mathbb{R}\ |\ x\in\ ]2,3[\ \cup\ ]5,\infty)\right\}}$

Ou, escrito de outra forma:

$\boxed{\mathbb{S}=\left\{x\in\mathbb{R}\ |\ 2<x<3\ \text{ou}\ x>5\right\}}$