Question

Para todo X ≠ kπ/2, k ∈ Z, prove que tg(3x) – tg(2x) – tg(x) = tg(3x) (tg(2x) tg(x)).

Answer 1

Resposta:

A demonstração encontra-se detalhada na explicação passo a passo

Explicação passo a passo:

Para responder a esta questão vamos trabalhar com as identidades trigonométrica. Para demonstrar uma identidade trigonométrica f(x) = g(x) temos três modos distintos:

• Desenvolver um dos membros da igualdade f(x) até obter o outro g(x);
• Desenvolver ambos os membros da igualdade até obter h(x) = h(x);
• Desenvolver f(x) - g(x) cujo valor deve ser zero.

Neste caso em particular vamos desenvolver ambos os membros até obter a igualdade h(x) = h(x).

Para efeito de simplificação vamos fazer as seguintes mudanças de variáveis:

tan x = a;

tan 2x = b;

tan 3x = c

Calculando tan 3x em função de "a":

tan 3x = c = (3a-a³)/(1-3a²)

Calculando tan 2x de função de "a":

tan 2x = b = 2a/(1-a²)

Agora, substituindo essas informações na identidade temos:            

                       tan 3x - tan 2x - tan x = tan 3x . tan 2x . tan x                        

                                                c - b - a = c . b . a        

               (3a-a³)/(1-3a²) - 2a/(1-a²) - a = (3a-a³)/(1-3a²) . 2a/(1-a²) . a

(3a-a³).(1-a²)-2a.(1-3a²)-a.(1-3a²).(1-a²) = 6a³-2a⁵

3a-3a³-a³+a⁵-2a+6a³-a+a³+3a³-3a⁵ = 6a³-2a⁵                        

                                               6a³-2a⁵ = 6a³-2a⁵                

                                6.tan³x - 2.tan⁵x = 6.tan³x - 2.tan⁵x                            

                                                       h(x) = h(x)                                                  

                                                                                                    c.q.d.