Question

Para servir o lanche dos alunos, uma escola monta kits de alimentação, estão disponíveis 108 pacotes de bolacha, 180 maçãs, e 252 chicletes, cada kit deve conter ao menos uma unidade de cada item disponível e além disso, conter a mesma quantidade de cada item. Dessa maneira, o maior número de kits que podem ser formados é?

Answer 1

Existem duas informações primordiais ao problema: precisa-se ter pelo menos um lanche de cada tipo e conter a mesma quantidade de cada um desses lanches. Dessa forma, limita-se a quantidade de kits pelo número de bolachas, que é o menor deles

É importante ressaltar também que, a cada kit, vamos diminuindo a quantidade total de lanches para montar os próximos kits.

Assim, vamos utilizar o conceito de progressão aritmética para resolver o problema.

Montaremos uma PA com o primeiro termo sendo 1, pois vamos começar montando um kit com 1 lanche de cada. 

A razão dessa PA será 1, pois a cada kit vamos adicionando mais um lanche de cada.

O último termo será dado por "a1 + (n-1)*r", sendo n o número total de termos e r a razão.

Ainda, a soma total dos elementos deve ser 108, pois é o número total de bolachas e não podemos ultrapassar esse valor.

Com esses dados, utilizamos a fórmula de soma de n termos de uma PA para encontrar "n":

Sn = (a1 + an)*n / 2

Substituindo "an" por "a1 + (n-1)*r", temos:

Sn = (a1 + a1 + (n-1)*r)*n / 2

Agora, substituímos os valores da questão:

108 = (1 + 1 + (n-1)*1)*n / 2

Resolvendo, temos:

216 = (1 + n)*n

216 = n + n²

n² + n - 216 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau, temos x=14,2. 

Dessa forma, o número máximo de kits diferentes utilizando um item de cada tipo é igual a 14 kits.