Question

Para saber a medida da largura de um rio, mediu-se a distância AB=10 m e o ângulo ABC, cuja medida é de 75°. Qual é a medida da largura do rio?

Answer 1

*Detalhe: A questão faltou informar que o trecho AC é perpendicular às margens do rio, do contrário, não haveria solução.
Então, considerando que o ângulo AČB é reto, temos:

tg(75°) = L/10

Mas qual a tangente de 75°? Para isso precisaremos usar o conceito de soma de arcos, e essa é a única parte "difícil" da questão.

Tangente da soma:

$tg(a+b) = \frac{tg(a)+tg(b)}{1- tg(a) \times tg(b)}$

Como 75° é igual a 30° + 45°, temos:

$tg(30 + 45) = \frac{ \frac{ \sqrt{3} }{3} + 1}{1 - \frac{ \sqrt{3} }{3} \times 1 } \\ \\ = \frac{ \frac{3 + \sqrt{3} }{3} }{ \frac{3 - \sqrt{3} }{3} } = \frac{3 + \sqrt{3} }{3} \times \frac{3}{3 - \sqrt{3} } \\ \\ = \frac{3 + \sqrt{3} }{3 - \sqrt{3} } \times \frac{3 + \sqrt{3} }{3 + \sqrt{3} } = \frac{ ({3 + \sqrt{3}) }^{2} }{ {3}^{2} - { \sqrt{3} }^{2} } \\ \\ \frac{9 + 6 \sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 + 6 \sqrt{3} }{6} \\ \\ = 2 + \sqrt{3}$
Substituindo o valor de tg(75) encontrado, temos:

$2 + \sqrt{3} = \frac{l}{10} \\ \\ l = 20 + 10 \sqrt{3} \\ \\ l = 10(2 + \sqrt{3} ) \\ \\ \boxed{l \approx 37{,}3 m}$