Question

Para que valotes reais de k a equação do 2 grau x elevado a 2 +kx -k +3=0 admite, em R, conjunto solução unitário

Answer 1

Para que uma equação do 2° grau:

$0 = a \cdot x^2 + b \cdot x + c$

 apresente solução unitária, deve possuir duas raízes reais iguais, isto é, $\Delta = 0$.

Sendo a=1, b = k e c = -k + 3. Então:

$b^2 - 4 \cdot a \cdot c = 0 \\ k^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-k + 3) = 0 \\ k^2 + 4k -12 = 0$

Ou seja, caímos em uma equação do 2° grau, então encontraremos os possíveis valores de k utilizando a fórmula de Bhaskara com a = 1, b = 4 e c = -12:

$k = \frac{-b \pm \sqrt[2]{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} \\ k = \frac{-4 \pm \sqrt[2]{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt[2]{16 + 48}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt[2]{64}}{2} = \frac{-4 \pm 8}{2} \\ k^{'} = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2 \\ k^{''} = \frac{-4 -8}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Assim, apenas para k = 2 e k = -6.