Question

Para que valores reais de x a função f(x) = x² + 7x + 10 é positiva?

Answer 1

Δ = b² -4.a.c
Δ = 49 -4.1.10
Δ = 49 - 40
Δ = 9
x = -b +- √Δ
     -------------
         2a
x = -7 +- √9
       ----------
            2

x1 =  -7 +3    =   -4       = -2
           -----         ---- 
             2             2

x2 = -7 -3     =   -10     =   -5
         ------         ------
            2               2

S = {-5,-2}

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Tata, que a resolução é simples.
Pede-se para que valores reais de "x" a funçãof(x) = x² + 7x + 10 é positiva.

Antes de iniciar veja esses rápidos prolegômenos, que serão muito importantes pra você:

i) Um equação do 2º grau, da forma f(x) = ax² + bx + c, com raízes iguais a x' e x'', terá a seguinte variação de sinais:

i.1) f(x) terá o mesmo sinal do termo "a" (o termo "a" é o coeficiente de x²) para valores de "x" extrarraízes (fora das raízes), ou seja, para: x < x' ou x > x'';

i.2) f(x) terá sinal contrário ao do termo "a" para valores de "x" intrarraízes (entre as raízes), ou seja, para: x' < x < x'';

i.3) f(x) será igual a "0" para valores de "x' iguais às raízes, ou seja, para: x = x', ou x = x''.

ii) Então vamos tomar a equação da sua questão [f(x) = x² + 7x + 10] e vamos igualar a zero para encontrar suas raízes. Fazendo isso, teremos;

x² + 7x + 10 = 0 ----- se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:

x' = - 5
x'' = - 2.

iii) Agora vamos estudar a variação de sinais da equação da sua questão. Note que o termo "a" da equação dada é positivo. Logo, teremos isto:

iii.1) f(x) > 0 para valores de "x" extrarraízes (fora das raízes), ou seja, para: x < -5, ou x > -2.

iii.2) f(x) < 0 para valores de "x" intrarraízes (entre as raízes), ou seja, para:
-5 < x < -2.

iii.3) f(x) = 0 para valores de "x" iguais às raízes, ou seja, para: x = -5, ou x = -2.

iv) Assim, como está sendo pedido para que valores reais de "x' a função da sua questão [f(x) = x²+7x+10] é positiva, então a resposta será, como vimos acima:

x < -5, ou x > -2 ------ Esta é a resposta.

Se você quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

S = {x ∈ R | x < -5, ou x > -2}.

Ou ainda, também se quiser, o conjunto-solução poderá ser expresso do seguinte modo, o que dá no mesmo:

S = (-∞; -5) ∪ (-2; +∞).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.