Question

Para que valores reais de x a função f(x) = x^-7x+10 é positiva?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Rafaela, que a resolução é simples.
Pede-se: para que valores de "x' a função f(x) = x² - 7x + 10 é positiva?
Em outras palavras, são pedidos os valores de "x" para que se tenha f(x) > 0, na função dada, que é: f(x) = x² - 7x + 10.

Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Uma equação do 2º grau, da forma f(x) = ax² + bx + c, com raízes iguais a x' e a x'', terá a seguinte variação de sinais:

i.a) f(x) terá sinal contrário ao sinal do termo "a" (o termo "a" é o coeficiente de x²) para valores de "x" intrarraízes (entre as raízes), ou seja: para x' < x < x''.

i.b) f(x) será igual a zero para valores de "x" exatamente iguais às raízes, ou seja, para x = x' e para x = x''.

i.c) f(x) terá o mesmo sinal do termo "a" para valores de "x" extrarraízes (fora das raízes), ou seja: para x < x' ou para x > x''.

ii) Bem, vistos os casos listados acima para estudar a variação dos sinais de uma função do 2º grau, então vamos trabalhar com a função da sua questão, que é esta: f(x) = x² - 7x + 10.
Vamos encontrar suas raízes. Para isso, igualaremos f(x) a "0". Assim:

x² - 7x + 10 = 0 ---- aplicando Bháskara, você encontrará as seguintes raízes:

x' = 2; e x'' = 5.

iii) Agora vamos estudar a variação de sinais da função dada, que é [f(x) = x²-7x+10] e que queremos que ela seja positiva (>0). Assim:

x²-7x+10 > 0.. + + + + + + + (2)- - - - - - - - - - - (5)+ + + + + + + + + +  +
 
Como queremos que a função seja positiva (>0), então só vai nos interessar onde tiver sinal de MAIS no gráfico acima.
Assim, a função será positiva para valores de "x" extrarraízes (fora das raízes), ou seja, ela só será positiva para valores de "x' situados no seguinte intervalo:

x < 2, ou x > 5 -------- Esta é a resposta. Estes são os intervalos em que "x" pode assumir valores fazendo com que a função seja positiva.

Se quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que quer dizer a mesma coisa:

S = {x ∈ R | x < 2, ou x > 5}.

Ou ainda, também se quiser, o conjunto-solução poderá ser apresentado do seguinte modo, o que significa o mesmo:

S = (-∞; 2) ∪ (5; +∞) .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.