Question

para que valores reais de m a função f(x) = x^2 + (2m-1)x - 2m admite raízes reais?

Answer 1

Pela fórmula de Bháskara, para uma função quadrática admitir raízes reais, temos que Δ ≥ 0. Vejamos

f(x) = x² + (2m - 1)x - 2m

a = 1
b = 2m - 1
c = -2m

Δ = b² - 4ac = (2m - 1)² - 4 * 1 * (-2m) = 4m² - 4m + 1 + 8m = 4m² + 4m + 1

Como Δ tem que ser maior ou igual a zeros, então

Δ ≥ 0
4m² + 4m + 1 ≥ 0

Temos uma inequação de segundo grau, vamos estudar o sinal dessa parábola. Vamos calcular as raízes dessa parábola.

4m² + 4m + 1 = 0

a = 4
b = 4
c = 1

Δ = b² - 4ac = 4² - 4 * 4 * 1 = 16 - 16 = 0

m' = (-b + √Δ) / (2a) = (-4 + √0) / (2 * 1) = (-4) / 2 = -2
m'' = (-b - √Δ) / (2a) = (-4 - √0) / (2 * 1) = (-4) / 2 = -2

Veja que temos uma parábola com concavidade para cima, portanto a parábola possui apenas uma raiz (m = -2) e é positiva em todos os outros pontos.

Logo, para qualquer valor de m, teremos Δ ≥ 0, portanto, para qualquer valor de m a função f(x) = x² + (2m - 1)x - 2m admite raízes reais.

S = {m ∈ R}