Question

para que valores reais de k a reta r de equação 5x - 12y + k = 0 é secante á circunferência µ de equação ( x - 6 )2 + ( y – 2 )2 = 39

Answer 1

I - Se é uma reta secante à circunferência, ela atravessa e a intercepta em dois pontos. Além disso, "k" poderá assumir milhares de valores, essa reta poderá tocá-la em diversos pontos diferentes.

II - Mas primeiramente teremos que descobrir os pontos de interseção da circunferência no eixo "x" e "y", rearranjando a equação da circunferência para facilitar esse processo e logo após, substituiremos na equação da reta para encontrar os possíveis valores de "k":

$(x-6)^2+(y-2)^2=39 \\ \\ (x-6)(x-6)+(y-2)(y-2)=39 \\ \\ x^2-12x+36+y^2-4y+4=39 \\ \\ x^2-12x+y^2-4y=39-4-36 \\ \\ x^2-12x+y^2-4y=-1 \\ \\ x^2-12x+y^2-4y+1=0$

III - Teremos que substituir os valores de "x" na equação da circunferência por zero e resolver a equação para encontrar os pontos de interseção no eixo "y"

$0^2-120+y^2-4y+1=0 \\ \\ y^2-4y+1=0 \\ \\ y'=2+\sqrt{3} \\ \\ y''=2-\sqrt{3}$

IV - Faremos o contrário do item anterior para encontrar as interseções da circunferência no eixo "x":

$x^2-12x+y^2-4y+1=0 \\ \\ x^2-12x+0^2-4.0+1=0 \\ \\ x^2-12x+1=0 \\ \\ x'=0 \\ \\ x''=12$

V - Agora vamos substituir os valores na equação da reta para encontrar os valores de "k", e esses valores farão com que essa reta seja secante à circunferência:

5x - 12y + k = 0

k = -5x + 12y

Para valores de x = 0 e y = 2±√3

k = -5.0 + 12(2±√3)

k = 12(2±√3)

k = 24 ± 12√3

Para valores de x = 12 e y = 2±√3

k = -5.12 + 12(2±√3)

k = -60 + 24 ± 12√3

k = -36 ± 12√3

VI - Logo, as seguintes retas são secantes à circunferência:

r: 5x - 12y + 24 ± 12√3 = 0

r: 5x - 12y - 36 ± 12√3 = 0