Question

para que valores reais de k a função f(x)= (k^2 - 1) x^2 - 5x+8 admite zeros reais??????????????

Answer 1

Para que uma função quadrática admita duas raízes reais seu discriminante Δ deve ser maior ou igual a zero, ou seja: Δ ≥ 0.

Temos a seguinte função quadrática:

$\mathsf{f(x)=(k^2-1)x^2-5x+8}$

Vamos determinar seu discriminante (Δ):

$\mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\\\mathsf{\Delta=(-5)^2-4\cdot(k^2-1)\cdot8}\\\\\mathsf{\Delta=25-(4k^2+4)\cdot8}\\\\\mathsf{\Delta=25-32k^2+32}\\\\\mathsf{\Delta=-32k^2+57}$

Fazendo Δ ≥ 0

$\mathsf{-32k^2+57 \geq 0}\\\\\mathsf{-32k^2 \geq -57}\\\\\mathsf{32k^2 \leq 57}\\\\\\\mathsf{k^2 \leq \dfrac{57}{32}}\\\\\\\mathsf{k^2 \leq \dfrac{114}{64}}\\\\\\\mathsf{\sqrt{k^2} \leq \sqrt{\dfrac{114}{64}}}\\\\\\\mathsf{|k| \leq \dfrac{\sqrt{114}}{8}}\\\\\\\begin{Bmatrix}\mathsf{k} \leq \mathsf{\dfrac{\sqrt{114}}{8}}\\\\\mathsf{ou}\\\\\mathsf{k \geq -\dfrac{\sqrt{114}}{8}}\end.$

Sendo assim valores reais para k inferiores ou iguais a (√113)/8, ou superiores ou iguais a -(√113)/8 fazem com que a equação quadrática possua duas raízes reais. 

Conjunto solução:

$\fbox{ \mathsf{\begin{Bmatrix}\mathsf{k\in\mathbb{R}:-\dfrac{\sqrt{114}}{8}~ \leq k~ \leq \dfrac{\sqrt{114}}{8}}\end{Bmatrix}} }$

Answer 2

f(x) = (k²-1)x² + 5x + 8
Admite zeros(raízes) reais se Delta for maior ou igual a zero.
Δ ≥ 0
5² - 4(k²-1).8 ≥ 0 => 25 -32k² + 32 ≥ 0 => 32k² - 57 ≤ 0 => k² - 57 ≤ 0

Raiz k = -√57/32 ou k = √57/32
-------------------------------------------------------
     +             -√57/32        -          √57/32       +
-√57/32 ≤ k ≤ √57/32