Question

Para que valores do parâmetro real k a equação
$x {}^{2} - x + k = 0$
alinea a) não tem soluções
alinea b) tem pelo menos uma solução


pfv ajudem me não consigo perceber isto

Answer 1

∆= b² -4ac = 1² -4.1.k = 1 -4k

a)
∆ < 0
1-4k <0
-4k < -1 ===> *(-1)
4k > 1
k > 1/4 ✓

b)
∆ = 0
1-4k = 0
1 = 4k
k = 1/4 ✓

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Joana, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se: para que valores do parâmetro real "k" a equação x² - x + k = 0:

a) NÃO tem soluções reais;

b) Tem, pelo menos, uma solução.

ii) Agora vamos a alguns prolegômenos sobre a existência ou não de raízes reais de uma equação do 2º grau.

ii.1) Uma equação do segundo grau, da forma ax² + bx + c = 0,  NÃO terá raízes reais se - e somente se - o seu delta (b² - 4ac) for MENOR do que zero, ou seja, se tivermos isto:

b² - 4ac < 0 .

ii.2) Uma equação do segundo grau, da forma ax² + bx + c = 0, TERÁ PELO MENOS uma única raiz real se - e somente se - o seu delta (b² - 4ac) for igual a zero, ou seja, se tivermos isto:

b² - 4ac = 0 .

ii.3) Uma equação do segundo grau, da forma ax² + bx + c = 0, TERÁ DUAS raízes reais e diferentes se - e somente se - o seu delta (b² - 4ac) for maior do que zero, ou seja, se tivermos isto:

b² - 4ac > 0 .

iii) Pelo que vimos aí em cima nesses rápidos prolegômenos, vamos tentar responder ao que a questão pede, que é isto:

a) Encontre o valor do parâmetro real "k" para que a equação da sua questão [x²-x+k = 0] NÃO tenha raízes reais (ou não tenha soluções, o que dá no mesmo). Então vamos impor que o seu delta seja MENOR do que zero. Note que o delta (b²-4ac) da equação acima é este: (-1)² - 4*1*k . Então vamos impor que este delta seja MENOR do que zero. Assim:

(-1)² - 4*1*k < 0 ------ desenvolvendo, teremos:

1 - 4k < 0 ----- passando "1" para o 2º membro, teremos:

- 4k < - 1 ----- multiplicando-se ambos os membros por "-1" ficaremos (lembre-se: quando se multiplica uma desigualdade por "-1" o seu sentido muda: o que era "<" passa pra ">" e vice-versa):

4k > 1 ---- isolando "k", teremos;

k > 1/4 ----- Esta é a resposta para o item "a". Ou seja, para que a equação da sua questão [x² - x + k = 0] NÃO tenha soluções, basta que "k" seja MAIOR que "1/4"

b) Encontre o valor do parâmetro real "k" para que a equação da sua questão [x²-x+k = 0]  tenha pelo menos uma raiz real (ou tenha pelo menos uma solução, o que dá no mesmo). Então vamos impor que o seu delta seja IGUAL a zero. Note que o delta (b²-4ac) da equação acima é este: (-1)² - 4*1*k . Então vamos impor que este delta seja IGUAL a zero. Assim:

(-1)² - 4*1*k = 0  -------- desenvolvendo, teremos:

1 - 4k = 0 ----- passando "1" para o 2º membro, teremos:

-4k = - 1 ---- multiplicando ambos os membros por "-1", ficaremos com:

4k = 1 ---- isolando "k", teremos:

k = 1/4 <--- Esta é a resposta para o item "b". Ou seja, para que a equação da sua questão [x² - x + k = 0] tenha pelo menos uma solução, então basta que "k" seja igual a "1/4".

Bem, as respostas para os itens "a" e "b" já estão dadas. Mas se houvesse ainda mais uma "alínea" (a alínea "c", por exemplo), que pedisse isto: para que valores do parâmetro real "k" a equação x² - x + k = 0 teria duas soluções reais (ou duas raízes reais). Então bastaria que o seu delta (b² - 4ac) fosse MAIOR do que zero. E aí você faria isto:

(-1)² - 4*1*k > 0 ------ desenvolvendo, teríamos:

1 - 4k > 0 ----- passando "1" para o 2º membro, teríamos:

- 4k > -1 ----- multiplicando-se ambos os membros por "-1", ficaremos (lembre-se o que ocorre com uma desigualdade quando se multiplica ambos os membros por "-1"):

4k < 1

k < 1/4 -------- Nesse caso, se houvesse a alínea "c" e que pedisse o valor do parâmetro real "k" para que a equação tivesse duas soluções reais (ou duas raízes reais), então a resposta seria que "k" fosse menor do que "1/4". Mas este alínea "c" não existe na sua questão. Só colocamos aqui pra você ver como seria, ok?

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.