Question

Para que valores de m, com m≠0, a equação mx²-2mx+5=0 possui duas raízes reais e distintas?

Answer 1

Você precisa fazer dois Δ pra conseguir achar uma equação do segundo grau apenas com o valor de m e a partir dai calcular o valor de ×

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Cintita, que esta resolução é bem simples.
Pede-se: para que valores de "m" (m ≠ 0) a equação abaixo possui duas raízes reais e distintas?

mx² - 2mx + 5 = 0

Antes veja que uma equação do 2º grau terá duas raízes reais e distintas se o seu delta (b²-4ac) for MAIOR do que zero.
Note que o delta (b²-4ac)  da função acima é este: (-2m)² - 4*m*5. Então vamos impor que esse delta seja MAIOR do que zero. Assim:

(-2m)² - 4*m*5 > 0
4m² - 20m > 0 ----- para facilitar, vamos dividir ambos os membros por "4", com o que ficaremos:

m² - 5m > 0

Agora veja isto antes de iniciar: toda equação do 2º grau, da forma f(x) = ax² + bx + c , com raízes iguais a x' e x'' terá a seguinte variação de sinais:

i) f(x) terá sinal contrário ao do termo "a" para valores de "x" intrarraízes (entre as raízes), ou seja, para x' < x < x''. Observação: o termo "a" é o coeficiente de x².
ii) f(x) será igual a zero para valores de "x" iguais às raízes, ou seja, para x = x' e para x = x''.
iii) f(x) terá o mesmo sinal do termo "a" para valores de "x" extrarraízes (fora das raízes). Ou seja, para  x < x' ou x > x''.

Bem, tendo, portanto as relações acima como parâmetro, então vamos encontrar as raízes de m² - 5m = 0. Colocando-se "m" em evidência, teremos:

m*(m - 5) = 0 --- veja que aqui temos o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores é nulo. Assim, temos as seguintes possibilidades:

ou
m = 0 ---> m' = 0

ou
m - 5 = 0 ----> m'' = 5.

Assim, como você viu, as raízes da equação m² - 5m = 0 são: "0" e "5".

Agora vamos estudar a variação de sinais desta equação (vide relações "i", "ii" e "iii" acima):

m² - 5m > 0 ... + + + + + + + + (0)- - - - - - - - - - - - -  (5) + + + + + + + + +

Note: como queremos que a inequação seja maior do que zero [m²-5m > 0], então só nos vai interessar onde tiver sinal de MAIS no gráfico acima (note que o termo "a" é positivo, por isso a função será positiva para valores extrarraízes e negativa para valores intrarraízes). Assim, o intervalo em que "m" poderá assumir valores para que as raízes sejam reais e distintas será:

m < 0 , ou m > 5 -------- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.