Question

para que valores de k, a equação na incognita x, x²-2kx= 1- 3k tem raizes iguais

Answer 1

$x^2-2kx=1-3k\Longrightarrow x^2-2kx+3x-1=0$

Para que a equação tenha raízes iguais, é necessário que $\Delta=0$. Então:

$\Delta=0\Longrightarrow b^2-4\cdot a\cdot c=0\\\\ (-2k)^2-4\cdot1\cdot(3k-1)=0\Longrightarrow4k^2-12k+4=0\Longrightarrow k^2-3k+1=0\\\\ \Delta_2=b^2-4\cdot a\cdot c\\ \Delta_2=(-3)^2-4\cdot1\cdot1\\ \Delta_2=9-4\\ \Delta_2=5\\\\ k=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta_2}}{2a}=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2\cdot1}=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}\\\\\\ S=\{\dfrac{3-\sqrt{5}}{2},\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\}$