Question

Para que valores de α existe x de modo que sen x = 2α − 5?

Answer 1

De acordo com os dados do enunciado concluímos que os valores de a são:

$\large \displaystyle \mathsf{ 1\:\le \: a \: \le \:3 }$

A função seno é a função$\textstyle \sf \sf f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que associa cada número real x ao número real $\textstyle \sf \sf \sin{x}$, ou seja, $\textstyle \sf \sf f(x) = \sin{x}$. ( Vide a figura em anexo ).

• O domínio da função $\textstyle \sf \sf f(x) = \sin{x}$  é  $\textstyle \sf \sf D(f) = \mathbb{R}$;

• O conjunto imagem de $\textstyle \sf \sf f(x) = \sin{x}$ é  o intervalo $\textstyle \sf \text { \sf Im(f) = [ -\;1, 1 ] = \{y \in \mathbb{R} \mid -\:1 \leq y \leq 1\} }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf a = \:? \\ \sf \sin{x} = 2a- 5 \end{cases} } }$

Condição:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ -\: 1 \leq \sin{x} \leq 1 } }$

$\large \displaystyle \mathsf{ -\: 1 \leq 2a -5 \leq 1 }$

Resolvendo a dupla desigualdade, temos:

$\large \displaystyle \mathsf{ -\: 1 \leq 2a -5 \leq 1 \quad \gets somar ~ +5 ~em ~ambos ~os ~ termos. }$

$\large \displaystyle \mathsf{ -\: 1 + 5 \leq 2a -5 + 5\leq 1 +5 }$

$\large \displaystyle \mathsf{4 \leq 2a\leq 6 \quad \gets multiplicar ~ por~ 1/2. }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ 4 \cdot \dfrac{1}{2} \leq \:\dfrac{1}{2} \cdot 2 a \leq \:\dfrac{1}{2} \cdot 6 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{4}{2} \leq \:\dfrac{2}{2} \cdot a \leq \:\dfrac{6}{2} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf 2 \:\leq\: a \:\leq \: 3 }$

Logo, os valores de a são dados pelo conjunto

$\large\boldsymbol{\displaystyle \sf S = \{a \in \mathbb{R}\mid 2 \leq a \leq 3\} }$

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