Question

Para que valores de a existe o triângulo MNP onde M(0, a), N(a, -4) e P(1, 2)?

Answer 1

Olá, boa tarde.

Devemos determinar para quais valores de $a$ existe o triângulo $\triangle{MNP}$ cujos vértices são os pontos de coordenadas $M~(0,~a),~N~(a,\,-4)$ e $P~(1,~2)$.

Para que estes pontos sejam vértices de um triângulo, eles não podem estar alinhados. De acordo com a condição de alinhamento de três pontos, os pontos de coordenadas $(x_0,~y_0),~(x_1,~y_1)$ e $(x_2,~y_2)$ estão alinhados se vale a seguinte propriedade:

$\begin{vmatrix}x_0&y_0&1\\x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\\end{vmatrix}=0$

Dessa forma, teremos:

$\begin{vmatrix}0&a&1\\a&-4&1\\1&2&1\\\end{vmatrix}\neq0$

Para calcular este determinante de ordem $3$, utilizamos a Regra de Sarrus: consiste em replicar as duas primeiras colunas à direita da matriz original e calcular a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.

Replicando as colunas, temos:

$\begin{vmatrix}0&a&1\\a&-4&1\\1&2&1\\\end{vmatrix}\begin{matrix}0&a\\a&-4\\1&2\\\end{matrix}~\neq0$

Aplique a Regra de Sarrus

$0\cdot(-4)\cdot1+a\cdot1\cdot1+1\cdot a\cdot 2-(a\cdot a\cdot1-0\cdot1\cdot2+1\cdot(-4)\cdot1)\neq0$

Multiplique e some os valores no lado esquerdo da igualdade

$a+2a-(a^2-4)\neq0\\\\\\ a+2a-a^2+4\neq0\\\\\\ -a^2+3a+4\neq0$

Resolvemos a desigualdade utilizando a fórmula resolutiva. Dada a equação quadrática de coeficientes reais $ax^2+bx+c=0,~a\neq0$, suas soluções são calculadas pela fórmula: $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

Assim, teremos:

$a\neq\dfrac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot(-1)\cdot4}}{2\cdot(-1)}$

Calcule a potência, multiplique e some os valores

$a\neq\dfrac{-3\pm\sqrt{9+16}}{-2}\\\\\\ a\neq\dfrac{-3\pm\sqrt{25}}{-2}$

Calcule o radical, sabendo que $25=5^2$

$a\neq\dfrac{-3\pm5}{-2}$

Separe as soluções, some os valores e simplifique as frações

$a\neq\dfrac{-3+5}{-2}~~\bold{ou}~~a\neq\dfrac{-3-5}{-2}\\\\\\\Rightarrow a\neq-1~~\bold{ou}~~ a\neq4$

Portanto, os valores de $a$ tais que existe o triângulo $\triangle{{MNP}}$ pertencem ao conjunto solução:

$\boxed{\bold{S=\{a\in\mathbb{R}-\{-1,~4\}~|~\exists~\triangle{MNP}\}}}}$