Question

Para que valores de “a” as retas p: 2x + (a – 2)y – 5 = 0 e q: 4x + ay – 1 = 0, respectivamente, são concorrentes?

Answer 1

Resposta:

Para r: 2x + (a - 2)y - 5 = 0  

(a - 2)y = -2 x + 5

y = - 2.x + 5 /(a - 2)

mr = -2/(a - 2)

Para s: 4x + ay - 1 = 0

ay = - 4x + 1

y = (-4.x + 1)/ a

ms = -4/a

mr ‡ ms

-2/(a - 2) ‡ -4/a

-2 a ‡ -4.(a-2)

-2a ‡ -4a + 8

2a ‡ 8

a ‡ 4  

Answer 2

• O que são retas concorrentes?

Se duas retas distintas estão contidas em um mesmo plano, elas são concorrentes se possuem um único ponto em comum.

• Como encontrar esse ponto?

Esse ponto pertence às equações das duas retas e, portanto, para encontrar suas coordenadas devemos resolver o sistema formado pelas equações dessas retas.

• O que é um sistema de equações?

É um sistema formado por um conjunto de equações que apresentam mais de uma incógnita. Portanto, para se resolver tal sistema é necessário encontrar os valores que satisfaçam simultaneamente todas as equações.

• Como resolver um sistema de equações?

Há dois métodos:

• Substituição - onde se isola uma das incógnitas em uma das equações e se faz a substituição na segunda
• Adição - onde se multiplica os termos da primeira equação e soma-se com a segunda de forma a eliminar uma das incógnitas.

• Resolvendo o problema

Montando o sistema

$\left\{\begin{array}{rcrcr}2x&+&(a-2)y&=&5\\4x&+&ay&=&1\end{array}\right.$

Multiplicando os termos da primeira equação por -2 e somando com a segunda, temos

$\begin{array}{rcrcr}-4x&+&-2(a-2)y&=&-10\\4x&+&ay&=&1\\--&-&-------&-&---\\&&ay-2(a-2)y&=&-9\end{array}$

Isolando y

$ay-2(a-2)y=-9\\\\ay-2ay+4y=-9\\\\-ay+4y=-9\\\\y(-a+4)=-9\\\\y=\dfrac{-9}{-a+4}\\\\\boxed{y=\dfrac{-9}{4-a}}$

Substituindo esse valor na segunda equação

$4x+ay=1\\\\4x+a~.~\dfrac{9}{a-4}=1\\\\4x+\dfrac{9a}{a-4}=1\\\\4x=1-\dfrac{9a}{a-4}\\\\4x=\dfrac{a-4-9a}{a-4}\\\\4x=\dfrac{-8a-4}{a-4}\\\\x=\dfrac{\dfrac{-8a-4}{a-4}}{4}\\\\x=\dfrac{-8a-4}{4(a-4)}\\\\x=\dfrac{-4(2a+1)}{-4(4-a)}\\\\\boxed{x=\dfrac{2a+1}{4-a}}$

Logo, o ponto de interseção das retas é dado por

$P \left(\dfrac{2a+1}{4-a},\dfrac{-9}{4-a} \right)$

Para que esse ponto exista é necessário que o denominador das frações seja diferente de zero, ou seja,

$4-a \neq0\\\\a \neq 4$

• Conclusão

As retas p e q serão concorrentes para qualquer valor de $\bold{a \neq 4}$

• Para saber mais

https://brainly.com.br/tarefa/25661374