Question

Para que valor (is) real (is) de x a inversa da matriz A = |-1 1|
|0 x|

Answer 1

O valor real de x é 1.

Completando a questão: é a própria matriz A?

Sabemos que a multiplicação de uma matriz pela sua inversa é igual a matriz identidade: A.A⁻¹ = I.

Vamos considerar que a matriz inversa de $A=\left[\begin{array}{ccc}-1&1\\0&x\end{array}\right]$ é $A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]$.

Sendo assim, temos que:

$\left[\begin{array}{ccc}-1&1\\0&x\end{array}\right].\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}-a+c&-b+d\\xc&xd\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Assim, temos as seguintes condições:

{-a + c = 1

{-b + d = 0

{xc = 0

{xd = 1.

Veja que se xc = 0, então x = 0 ou c = 0. Mas, como xd = 1, então não podemos ter x = 0.

Logo, c = 0.

Além disso, temos que a = -1 e como queremos que a inversa seja a própria matriz, então:

$\left[\begin{array}{ccc}-1&1\\0&x\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-1&b\\0&dx\end{array}\right]$

Daí, temos que b = 1 e dx = x.

Dividindo dx = x por x, obtemos d = 1.

Como dx = 1, concluímos que x = 1.